На главную страницу
Вернуться в
Библиотеку		 Содержание<< 3 >>
Библиотека

Инструменты

Все Страховщики

Рейтинги

Доп.Инфо

Законодательство

Ссылки.

Советы

Магазин

Написать
 

 

3. Суммарные убытки для последовательных лэйеров.

На практике часто можно видеть, что договор перестрахования покрывает риск последовательностью лэйеров, которые однако рассматриваются и оцениваются по отдельности, поскольку могут иметь различные условия. Например, перестрахование катастрофического эксцедента убытка обычно может иметь одно восстановление за премию в 100% для каждого лэйера. А для других классов перестрахования может быть одно восстановление за 100% и одно – за 50%. В этой секции мы рассмотрим распределение общих убытков для последовательных лэйеров при наличии или отсутствии восстановлений, и сравним это распределение со случаем, когда комбинация лэйеров рассматривается как единый лэйер.

Мы будем использовать те же предположения относительно исходного страхового портфеля, что и в секции 2; и рассмотрим перестрахование эксцедента убытка двумя лэйерами: (m1 , m2) и (m2 , m3 ). Мы собираемся изучать случай только двух последовательных лэйеров, однако наш результат можно будет применить к любому числу лэйеров, как последовательных, так и нет. В случае единичного требования к перестрахователю перестраховщик будет платить по каждому из лэйеров суммы:

Zi 1 = min( max( 0, Yi – m1 ), m2 – m1 ) ; Zi 2 = min( max( 0, Yi – m2 ), m3 – m2 )

Если каждая из величин Yi имеет кумулятивную функцию распределения FY (t) , тогда величины Zi 1 и Zi 2 имеют такие распределения:

Суммарный объем выплат по требованиям, затрагивающим лэйеры, составит:

S1 = Z1 1 + Z2 1 +…+ Zi 1 +…+ZN 1 ; S2 = Z1 2 + Z2 2 +…+ Zi 2 +…+ZN 2

Если мы рассматриваем комбинированный лэйер (m1 , m3) , то индивидуальный размер требования к перестраховщику составит
Ui 1 = min( max( 0, Yi – m1 ), m3 – m1 ) = Zi 1 + Zi 2 , и поэтому суммарный объем требований за период равен Sc = S1 + S2. Заметьте, что случайные переменные Sc , S1 и S2 являются суммами одинаково распределенных величин, следовательно их распределение можно вычислить используя рекуррентный алгоритм Panjer’a.

В следующей секции мы будем рассчитывать распределение суммарных выплат для двух последовательных лэйеров с восстановлениями, а значит нам нужно объединенное распределение ( S1, S2).

3.1. Объединенное распределение суммарных убытков для последовательных лэйеров.

 В своей недавней работе Sundt (1999) предложил мультивариантную версию рекурсивной формулы Panjer’a для вычисления объединенных распределений двух или нескольких величин, имеющих составные распределения, в случае, когда все агрегативные переменные порождаются одними и теми же событиями. Этот алгоритм подходит для нашего частного случая, когда рассматривается распределение для двух последовательных лэйеров. Хотя алгоритм может быть применен к любому числу портфелей, мы будем рассматривать вариант с двумя возможными суммами агрегативного убытка. Предпосылки в алгоритме Sundt’a следующие:
  1. N, число требований, удовлетворяет рекуррентному соотношению:
    P{ N = n } = (a + b/n ) P{ N = n–1}
    для некоторых констант a и b, и целого n больше 0.
  2. Индивидуальные размеры требований -- целочисленные случайные величины, и совместное распределение размеров отдельных требований известно. Совместная функция вероятностей есть f(z1 , z2 ) для z1 = 0, 1, 2, …и z2 = 0, 1, 2, ….

Агрегативный размер требований для двух лэйеров равен S1 = Z1 1 + Z2 1 +…+ Zi 1 +…+ZN 1 и S2 = Z1 2 + Z2 2 +…+ Zi 2 +…+ZN 2; а рекуррентные формулы для объединенного распределения (S1, S2) следующие:

Мы можем вначале использовать (2), чтобы вычислить g(s1 , s2 ) для всех положительных s1, а затем использовать (3), чтобы вычислить g( 0, s2 ).

Из приведенного здесь описания рекуррентной процедуры становится понятно, что случай двух последовательных лэйеров для одного риска полностью соответствует условиям применимости алгоритма. Чтобы применить двунаправленную рекурсию при расчете распределения для (S1, S2) , необходимо, чтобы S1 и S2 были дискретными целочисленными случайными величинами. Поэтому мы предположим, что исходные индивидуальные размеры требований являются дискретными и целочисленными, для которых имеется функция вероятностей FY(y) = P{ Yi = y } при y Î N ; Если Yi непрерывная величина, мы можем использовать дискретизированные распределения. Имея распределение для Yi , мы можем вычислить объединенное распределение для индивидуальных размеров выплат для каждого лэйера т.е. для (Zi 1, Zi 2). Мы будем считать
f(z1 , z2 ) = P{ Zi 1=z1 , Zi 2 = z2 } ; и эта функция вероятностей совместного распределения рассчитывается так:

f(0,0) = P{ Yi £ m1 }
f(z1 , 0) = P{ Yi = m1 + z1 }   : 0 < z1 < m2 – m1
f(m2 – m1 , z2) = P{ Yi = m2 + z2 }   : 0 < z2 < m3 – m2
f(m2 – m1 , m3 – m2) = P{ Yi ³ m3 }

Все остальные возможные комбинации имеют вероятность равную нулю. Следовательно, для последовательных лэйеров нам нужна только рекуррентная формула (2), так как S2 > 0 только если S1 > 0 ; и поэтому g(0,0) = P { S1 = 0 } = pgfN ( f(0,0) ) , где pgfN функция, генерирующая вероятность для N. В этом случае задача вычисления совместного распределения упрощается, о том как это сделать рассказывается в Sundt (1999), Секция 4.

ВвБ | Ind << 3 >>
Hosted by uCoz