Мы рассмотрим страховой портфель в течение года. Для удобства будем использовать те же обозначения, что и в Sundt (1991). Мы будем обозначать: N – общее число требований (индивидуальных убытков) за год; Y₁, Y₂, … – величина каждого требования в портфеле в порядке поступления. Таким образом, каждое Y_i есть неотрицательная случайная величина с распределением (одинаковым для всех требований) F_Y(t). Перестрахование эксцедента убытка для этого портфеля, даваемое лэйером m xs l ( Перестраховщик платит, если величина убытка оказалась больше l ; его лимит ответственности равен m ), будет обеспечивать перестрахователю защиту от каждого отдельного убытка в объеме:

Z_i = min( max( 0, Y_i – l ), m )

Следовательно, суммарный объем требований для перестраховщика составит:

X = Z₁ + Z₂ +…+ Z_i + Z_N           (1)

Суммарный объем требований, рассчитанный по этой формуле, предполагает, что перестраховщик принимает участие в удовлетворении всех требований, чей объем превзошел собственное удержание перестрахователя (говорим, требование затронуло лэйер), как это и предполагается в классической литературе. На практике же существуют гораздо более сложные положения, такие как суммарное удержание и суммарный лимит. Если договором перестрахования предполагается агрегативное удержание L, то перестраховщик должен оплатить весь агрегативный убыток сверх этого удержания, т.е. он платит max( 0, X – L ) . Обычно также в договоре присутствует максимальное число убытков, которые оплачиваются перестраховщиком. Здесь под убытком понимается максимальная величина ответственности перестраховщика, согласно условиям лэйера, причем эта величина может исчерпываться любым реальным количеством требований. Эта концепция известна на практике, как перестрахование эксцедента убытка с восстановлениями. Как будто бы после каждого исчерпания лэйера он восстанавливается. Перестраховочная защита даваемая лэйером m xs l нашему страховому портфелю, при суммарном удержании L и K восстановлениях имеет размер:

min( max( 0, X – L ), (K+1)m )

Причем величина X рассчитывается согласно формуле (1). А теперь приведем простой числовой пример для иллюстрации всех определений.

Существует два вида восстановления: свободное и оплаченное. Если восстановление оплаченное, то каждый раз, когда требование затрагивает лэйер, перестраховщик взыскивает с перестрахователя дополнительную плату, пропорциональную размеру требования, по заранее определенной ставке. Пусть Р – исходная премия, говорят, что премия за п-ое восстановление составляет 100с_п % (от Р). Обычно эта ставка составляет 100% или 50%, смотри Carter (1981). Возвратимся к нашей иллюстрации и предположим, что есть лишь одно восстановление по цене 100%. После первого требования дополнительная премия составит Р · 75 / 150 = 0,5Р ; после второго требования вновь уплачивается дополнительная премия величиной Р · 50 / 150 = 0,(3)Р ; и наконец после третьего требования – 0,1(6)Р . Сумма всех этих дополнительных премий формирует премию за восстановление, которая в нашем случае оказывается равной Р. Четвертое требование полностью оплачивается перестраховщиком в рамках его ответственности, и договор перестрахования на этом заканчивает свое действие. В результате к окончанию действия договора перестраховщик оплатил 4 требования на сумму 300 и получил суммарную премию размером 2Р.

В оставшейся части статьи мы будем предполагать, что агрегативное удержание отсутствует, однако, распространить полученные нами результаты на случай наличия агрегативного удержания не составит для читателя особого труда. Для случая оплаченных восстановлений начальная премия Р покрывает нулевое восстановление, которое равно r₀ = min( X, m ).

Премия за первое восстановление таким образом составит P₁ = c₁ P r₀ / m. В общем случае, п-ое восстановление покрывает убыток:

r_n = min( max( 0, X – nm ), m )

А за полное число восстановлений, K, общие выплаты перестраховщика составят:

R_K = r₀ + r₁ + …+ r_K = min( X, (K+1)m )

При этом общий доход перестраховщика состоящий из начальных премий и премий за восстановления составит к концу действия лэйера:

T_K = P ( 1 + m^–1 ( c₁r₀ + c₂r₁ + …+ c_nr_n–1 + …+c_Kr_K–1 ) )

Заметьте, что случайные переменные r_n коррелированны в следующем смысле: Если для некоторого j : 0 £ j £ K верно r_j = 0, тогда r_i = 0 для всех i > j. И если r_j > 0 для некоторого j > 0, тогда r_i = m для всех i < j. Другими словами, эти величины положительны только тогда, когда все предшествующие восстановления равны максимальной величине m.