На практике каждый лэйер в договоре перестрахования может иметь собственные условия, собственное число восстановлений, агрегативное удержание и тарифы восстановлений. В некоторых видах перестрахования стандартным является лэйер с одним восстановлением по цене 100%. (Смотри Carter (1981) ) Для простоты мы намереваемся предположить отсутствие суммарного удержания и только одно восстановление для каждого лэйера, однако результат может быть распространен на случай любого количества восстановлений и наличия суммарного удержания.

При этих предположениях и использованных в секции 2 обозначениях, суммарные выплаты перестраховщика по каждому из лэйеров выглядят так:

S₁^* = min( S₁ , 2 (m₂ – m₁ ) ) и S₂^* = min( S₂ , 2 (m₃ – m₂ ) )

А для комбинированного лэйера : S_c^* = min( S₁ + S₂ , 2 (m₃ – m₁ ) ). В предыдущей секции мы обсуждали как рассчитать распределения S₁ , S₂ , S₁ + S₂ и совместное распределение (S₁, S₂ ). Мы можем записать функцию распределения S₁^* + S₂^* таким образом:

Здесь (S₁^*, S₂^* ) есть функция (S₁, S₂) , чье распределение мы вычислили в предыдущей секции.

Пример 1. Рассмотрим страховой портфель, в котором число требований N следует Пуассоновскому распределению с параметром l. Индивидуальный размер требования Y_i имеет распределение Парето с параметрами a = 3 и b = 10; функция плотности данного распределения имеет вид:

Страховая компания заключает договор перестрахования эксцедента убытка, включающий два последовательных лэйера: 10 xs 10 и 10 xs 20. Каждый лэйер допускает одно восстановление. Следуя обозначениям из секции 2, можно записать общий объем выплат по обоим лэйерам, как сумму N слагаемых:

S₁ = S min( max( 0, Y_i – 10 ), 10 ) ; S₂ = S min( max( 0, Y_i – 20 ), 10 )

Следовательно суммарные выплаты по каждому лэйеру составят:

S₁^* = min( S₁ , 20 ) ; S₂^* = min( S₂ , 20 )

В то же время суммарные выплаты по комбинированному лэйеру 20 xs 10 с одним восстановлением будут равны:

S_c^* = min( S₁ + S₂ , 40 )

Чтобы рассчитать распределения S₁^* + S₂^* и S_c^* , используя предложенный выше алгоритм, мы должны произвести дискретизацию распределения Парето. Мы взяли шаг дискретизации равный 0,02 от среднего и использовали метод дискретизации из De Vylder, Goovaerts (1988). Теперь случайная величина требования может принимать лишь значения 0; 0,1; 0,2; … И теперь мы можем использовать многовариантную рекурсию Panjer’a для S₁^* + S₂^* и одновариантную – для S_c^*.

Отметим, что при l =10 функция распределения убытков для комбинированного лэйера совпадает с функцией распределения для последовательных лэйеров, а после идет несколько ниже (разница до 0,02), что означает, что комбинированный лэйер дает лучшую защиту для перестрахователя. Это объясняется тем, что большее число требований затрагивает первый лэйер и, одновременно, комбинированный лэйер, чем второй.

Если же величина l снижается, то разница между двумя распределениями уменьшается. При l =1 распределения практически совпадают. Причиной этого является то, что при малой интенсивности требований вероятность того, что выплаты по второму лэйеру равны нулю достаточно велика, следовательно эффект последовательных лэйеров ничтожен. При этом все требования, которые предъявляются перестраховщику оплачиваются из первого лэйера (или комбинированного ). Поэтому распределения S₁^* + S₂^* и S_c^* стремятся к распределению для S₁ + S₂, т.е. к распределению для перестрахования с неограниченным числом восстановлений.