В секции 2 мы вкратце описали концепцию свободных и оплаченных восстановлений. В этой секции мы будем рассматривать различные принципы назначения перестраховочных премий, которые могут быть использованы для расчета начальной премии Р при любом количестве свободных или оплаченных восстановлений. Мы сравним принцип чистых премий и принцип стандартного отклонения из Sundt (1991) с различными принципами премий с поправкой на риск, предложенными в Wang (1996) и Silva, Centeno (1998). Мы продолжим использовать обозначения и предположения о портфеле из секции 2.

Принцип назначения премий есть некое правило p, которое присваивает некоторое неотрицательное значение риску, определяемому его функцией распределения. Существуют некоторые желательные свойства, которым принцип назначения премий должен бы соответствовать; эти свойства хорошо описаны в Wang (1996) и Silva, Centeno (1998). Основные свойства, которые мы собираемся изучать в свете воздействия ограниченного числа восстановлений есть положительная надбавка, линейность и субаддитивность.

В случае платного восстановления суммарная премия делается случайной величиной, коррелированной с суммарными выплатами перестраховщика, поэтому становится не совсем ясно как рассчитывать начальную премию. В последующих секциях мы опишем как использовать различные принципы назначения премий в случае наличия любого числа свободных или оплаченных восстановлений. Кроме того, мы изучим какими свойствами обладают начальные премии.

В Sundt (1991) представлена методология расчета чистых премий для любого числа свободных или оплаченных восстановлений. В этой секции мы вкратце перескажем основные полученные в той работе результаты. Согласно принципу чистых премий начальные премии должны бы быть такими, что выполнялось бы равенство, которое, следуя обозначениям из секции 2, можно записать:

ET_K = ER_K

      (4)

Когда мы применяем принцип “чистых” премий к оплаченным восстановлениям, некоторые свойства не выполняются. В частности не выполняется свойство линейности. Предположим, мы определили новый риск, у которого суммарный объем требований есть Y = aX+ b, где Х – суммарный объем требований из (1), а a, b – положительные константы. Отметим, что если исходный риск покрывается лэйером величиной m, то новый риск должен покрываться лэйером величиной am. Предположим, что для нового риска доступны K восстановлений, причем каждое восстановление покрывает максимальный объем am. Используя обозначения из секции 2, можно записать, что нулевое восстановление для риска Y определяется формулой:

u₀ = min( Y, am ) = min( aX + b, am ) = ar₀ + ab₁

u_n = min( Y – nam, am ) = min( aX + b – nam, am ) = ar_n + ab₁

T_K = P_Y ( 1 + ca^–1m^–1 ( u₀ + u₁ +…+ u_K–1 ) ) = P_Y ( 1 + cm^–1 ( R_K–1 + Kb₁ ) )

Где R_K–1 обозначает выплаты для восстановления K для исходного риска X. Поэтому, применяя принцип чистых премий к начальной премии за риск Y и обозначая Р_Х начальную премию за исходный риск Х , мы получим:

Т.е. принцип линейности не выполняется!

Желательно также чтобы выполнялось свойство субаддитивности для принципа назначения премий, в противном случае риск можно было бы разделить на два меньших риска, чтобы снизить затраты на перестрахование. Однако, в случае перестрахования эксцедента убытка с восстановлениями нужно быть особо внимательным при определении того, что есть сумма двух рисков. При K свободных восстановлениях начальные “чистые” премии равные ER_K, а дополнительные премии отсутствуют; поэтому в этом случае для любых двух лэйеров со свободными восстановлениями начальные премии аддитивны. В случае оплаченных восстановлений сумму рисков можно было бы определить в терминах чистых убытков. При сделанных в секции 2 предположениях о портфеле и начальной премии за риск Р суммарные чистые убытки можно определить так:

W(P) = ( r₁ + r₂ +…+ r_K ) + Pm^–1 ( c₁ r₀ + c₂ r₁ + …+ c_K r_K–1 )       (5)