Рекурсия Panjer’a.

В 1981 году Panjer предложил метод для расчета составного распределения одномерного распределения, когда составное распределение есть сумма случайного числа независимых и одинаково распределенных случайных величин, причем количество слагаемых также независимо от всех слагаемых. Во всех рекурсивных методах предполагается, что слагаемые есть целочисленные положительные случайные величины ( Или можно считать, что они являются таковыми с точностью до положительного множителя; на результат это не влияет. )

Пусть р – распределение числа слагаемых, например, числа страховых случаев; f – распределение величины слагаемых, например, величины убытка при страховом случае; а g – составное распределение, например суммарного убытка за период времени от страхового портфеля. Тогда:

Где f ^n* обозначает n-кратную свертку f . Если мы ограничимся лишь целыми положительными значениями Х, то мы получим f ^n*(x) = 0 , для всех n > x . Тогда :

В частности g(0) = p(0).

Если р удовлетворяет рекуррентному соотношению p(n) = ( a + bn^–1 ) p(n–1) (В частности этому соотношению удовлетворяют геометрическое распределение и Пуассоновское распределение числа событий. ), то для составного распределения верна формула:

    (1)

Эта формула и была получена в Panjer (1981).

1. Ограниченность класса распределений числа убытков. Эта формула подходит для различных смесей геометрических и Пуассоновских распределений, причем ее нужно чуть-чуть модифицировать. Если распределение нельзя аппроксимировать распределением из данного класса, то использовать эту формулу не удастся. В частности это не возможно для биномиального распределения.
2. Необходимость дискретизации. Заметьте, что хотя статистика страховых компаний дает нам дискретные распределения величины убытка, но на самом деле эти распределения непрерывны. Кроме того, в распределениях даваемых статистикой очень много точек и точки эти расположены неравномерно, а в (1) требуется равномерность!! Поэтому для проведения расчетов сначала приходится строить непрерывные аппроксимирующие распределения величины убытка.
   Но непрерывное распределение в рекуррентную формулу не подставить, поэтому приходится проводить дискретизацию. А в ходе дискретизации необходимо: а) Минимизировать потери информации, и связанные с этим отклонения расчетной функции составного распределения; б) Построить распределение с минимальным числом точек, чтобы ускорить расчеты.
3. Время расчета. Рекуррентная формула (1) требует порядка n² операций, и хотя считается, что это достаточно эффективно, однако когда в Вашем распределении порядка 10000 точек Вы почувствуете, что расчеты требуют времени.