Это уравнение можно решить спомощью n+1-кратного дифференцирования по X. После первого дифференцирования мы получим ИДУ задающее зависимость второй призводной вероятности выживания по капиталу от первой производной вероятности выживания самой вероятности выживания и интеграла не содержащего G0 и (X-Z) в n-ой степени. Из получившегося уравнения, из-за равенства нулю интеграла при нулевои капитале, будет следовать третье начальное условие.
После k дифференцирований мы будем иметь уравнение:

Ф

(k+1) x

(X) = LФ

(k) x

(X) - L *

k-1 S i=0

Gi (i+1)! Ф

(k-i-1) x

(X) -

- L *

x т 0

Ф(Z)

n S i=0

Gi

(i+1)! (i-k)!

(X - Z)

i

dZ

и в силу равенства нулю интеграла в последнем мы получим k+2-ое начальное условие необходимое для решения данного уравнения и тех уравнений, которые будут получены нами в последствии:

Ф

(k+1) x

(0) = LФ

(k) x

(0) - L *

k-1 S i=0

Gi (i+1)! Ф

(k-i-1) x

(0)

И наконец, осуществив n+1 дифференцирование мы получим линейное однородное дифференциальное уравнение n+2-го порядка, для решения которого у нас имеется n+2 начальных условия (как эти условия выглядят показано выше):

Данное уравнение, как и дифференциальное уравнение для вероятности выживания при Г-полиномиальном распределении мы решим, разложив его в степенной ряд относительно точки X = 0, который является сходящимся, ибо решение уравнения (4) сумма конечного числа экспоненциальных функций.

Итак, пусть Ф(X) =

Ґ S i=0

D1 ; i X

i

, тогда мы можем записать начальные условия

следующим образом: D1 ; 0 = Ф(0) ; D1 ; 1 = Ф'(0) (Выражения для Ф(0) и Ф'(0) см. выше);

D1 ; k = L

(k-1)! k!

D1 ; k-1 - L

k-1 S i=0

Gi

(i+1)! (k-i-2)! k!

D1 ; k -i -2

(Это выражение позволяет вычислять все коэффициенты ряда от 2 до n+1. А для всех коэффициентов ряда с номерами больше n+1 мы можем записать, учитывая что уравнение (4) задает все производные с порядком больше n+1:

D1 ; k = L

(k-1)! k!

D1 ; k-1 - L *

n S i=0

Gi

(i+1)! (k-i-2)! k!

D1 ; k -i -2

(5)