Оценка вероятности разорения страховой компании с использованием Г-полиномиального распределения размеров требований.

Кратко о модели.
Мы будем рассматривать классическую модель процесса риска издавна используемую в актуарной математике, когда вопрос заходит о вероятности разорения страховщика.
Итак, состояние страховщика зависит изменяется во времени следующим образом:

Xt = X0 +CT -

N(T) S k=1

Yk

, где

X_t и X₀ суть капитал страховщика в момент Т и в начальный момент;
C -- интенсивность поступления страховых премий;
Y_k -- размер требования (случайная величина);
N(T) -- число требований предъявленых к моменту T -- случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром lT , где l -- интенсивность поступления требований.
Для заданного таким образом процесса риска известно интегро-дифференциальное уравнение задающие зависимость вероятности выживания от начального капитала страховщика :

Ф'x(X) = LФ(X) - L *

x т 0

Ф(X - Y)F(Y)dY

(1)

В этой формуле нами введены слдующие обозначения:
Ф(X) -- вероятность выживания страховщика при капитале равном Х;
Ф'_x(X) -- ее производная по Х;
F(Y) -- плотность распределения размера требования;
L = l/C.
Для вычисления Ф по (1) нужно знать вероятность выживания при нулевом капитале; и в нашем случае эта вероятность известна для любого распределения размеров требований: Ф(0) = 1 - L * EY

Решение(1) для Г-полинома.
Г-полиномом n-ой степени мы будем называть функцию вида:
(G₀/A + G₁X/A² + G₂X²/ 2A³ + ... + G_nXⁿ/ n!Aⁿ)* exp( - X / A)
Чтобы Г-полином был функцией плотности распределения необходимо выполнение двух условий: 1) Содержимое скобок должно быть неотрицательно при любом значении X ; 2) Сумма коэффициентов должна быть равной 1 для того, чтобы значение функции распределения на бесконечности было равным единице. При выполнении этих условий Г-полином n-ой степени будет функцией плотности распределения с n независимыми параметрами.
При Г-полиномиальном n-ой степени распределении размеров требований уравнение (1) примет такой вид:

Ф'x(X) = LФ(X) - L *

x т 0

Ф(X - Y)

n S k=0

Gk Yk/ k!Ak+1exp(-X / A)dY

(2)

Из данного уравнения следует, что Ф'(0) = LФ(0)

Это уравнение можно решить спомощью n+1-кратного дифференцирования по X, используя замену переменной Z = X - Y . После первого дифференцирования мы получим ИДУ задающее зависимость второй призводной вероятности выживания по капиталу от первой производной вероятности выживания, вероятности выживания и интеграла сходного с присутствующим в (2), но без члена содержащего G₀ ; кроме того мы выясним, что
Ф''(0) = (L - 1/A)Ф'(0) + (1 - G₀)LФ(0) / A