|
Библиотека Инструменты Все Страховщики Рейтинги Доп.Инфо Законодательство Ссылки. Советы Магазин Написать
|
После второго дифференцирования мы получим ИДУ, определяющее третью производную,
в правой части которого будут присутствовать Ф''(X), Ф'(X), Ф(X) и интеграл, не
содержащий G0 и G1. При этом из-за равенства
интеграла нулю при X = 0 мы получим такую формулу для третьей производной
вероятности выживания в нуле:
| Ф | (3)
x | (0) = B2; 0Ф''(0) + B2; 1Ф'(0)
+ B2; 2Ф(0) |
В данной формуле мы ввели коэффициенты Bj; i (здесь j -- номер
дифференцирования, а i означает, что перед нами коэффициент при j-i -ой
производной), которые вычисляются так:
B2; 0 = L - 2/A
B2; 1 = ((2L - G0) - 1/A)/
A = B1; 0 + B1; 1
B2; 2 = L(1 - G0 - G1)/A2
При продолжении дифференцирования, вплоть до n+1-го, мы будем получать
ИДУ содержащее все более простую интегральную часть и все больше производных, и
значение в нуле производных все более высоких порядков. Например после j-го дифференцирования
мы получим ИДУ, задающее j+1 -ую производную, правая часть которого будет содержать Ф(X) и
все ее производные до j -ой и интеграл, включающий только члены от Gj
до Gn. Из этого уравнения будет вытекать, что
| Ф | (j+1)
x | (0) = | j
S
i=0 | Bj; i Ф |
(j-i)
x | (0) | (3) |
При этом коэффициенты Bj; i вычисляются по следующим
рекуррентным формулам:
Bj; 0= L - j/A
Bj; i = Bj-1; i + Bj-1; i-1
/ A ; при i < j
| Bj; j = A-j(L - L |
j-1
S
k=0 |
Gk) |
| (4) |
После n+1 -го дифференцирования мы получим линейное однородное дифференциальное
уравнение n+1-го порядка относительно Ф'(X) (член содержащий Ф(х) будет в этом
уравнении отсутствовать, так как согласно определению Г-полиномиального распределения
и формуле (4) Bn+1; n+1 = 0 ) :
| Ф | (n+2)
x | (X) = | n
S
i=0 | Bn+1; i Ф |
(n+1-i)
x | (X) | (5) |
Теперь, мы имеем ЛОДУ и начальные условия, мы могли бы пытаться проинтегрировать
уравнение (5), чтобы получить его решение в виде элементарной функции, но для этого
нам придется решать алгебраическое уравнение n+1-ой степени. Вместо этого мы
разложим Ф(X) в степенной ряд относительно точки х = 0, используя уравнение (5).
Заметим прежде всего, что функция определенная уравнением (5) является бесконечно
дифференцируемой на всей положительной полуоси, и, кроме того, степенной ряд, в
который данная функция раскладывается является сходящимся на всей положительной
полуоси, ибо эта функция -- сумма конечного числа экспоненциальных функций.
| Итак, пусть Ф(X) = | Ґ
S
i=0 | Di Xi | в таком
случае Di = Ф | (i)
x | (0) / i! и D0 =
Ф(0) = 1 - LA |
|
