Числовой пример.
Пусть _oX^*_i принимает значение 100 с вероятностью 0,001; а _cX^*_i принимает значение 5 с вероятностью 0,01. Эти значения могут соответствовать выплатам при пожаре и при землетрясении, соответственно, по стандартному полису огневого страхования.

При этом m_о = 0,1 , m_c= 0,05 , s_o » 3,16, s_c » 0,5 .

Давайте предположим, что l_о = 5% и l_с = 20% , а n = 100000 .

Мы получим: s( S^*) = 50010 , l = 1500 , r = 0.03
s( S^*_net) = 1000 , l_net = 500 , r_net = 0.5

Отношение “страховой риск – дополнительны доход” нетто-перестрахование намного выше, чем брутто-перестрахование. Предполагая, что t = 0,25, мы получим следующую величину требуемого капитала:

u = ( t l_net )^–1 s² (S^*_net) = 8000

Откуда следует, что оптимальной парой риск и дополнительный доход является:

m = l_net / u = 6.25%   s = s(S^*_net) / u = 12.5%

Пусть теперь X₁^* , … , X_n^* обозначают различные страховые портфели нашей компании. (Например, страхование жилищ, автомобильное страхование, страхование коммерческих рисков, автомобильное страхование для юр. лиц, входящее перестрахование, и т.д.) Пусть p(X_i^*) = EX_i^* + l_i обозначает премию, получаемую от портфеля X_i^*; а l_i есть соответствующая надбавка.

Мы используем следующее обозначение:

s_{i j} = Cov(X_i^* , X_j^* )     S = (s_{i j})

Мы будем предполагать, что компания оставляет себе долю a_i от портфеля X_i^* и передает в перестрахование долю 1 – a_i . Таким образом комбинированный портфель компании нетто-перестрахование есть:

S^*_net = a₁ X₁^* + … + a_n X_n^*

А комбинированная надбавка нетто-перестрахование составит: l_net = a₁ l₁ + …+ a_n l_n

Теорема.
При условии существования матрицы обратной к S :

1. Вектор a = (a₁ , … , a_n), который максимизирует соотношение “страховой риск – доход” нетто-перестрахование ( r_net = l_net / s( S^*_net) ) задается формулой: a = cS ^–1 l ; где l = (l₁ , … , l_n) ; a c – скаляр, выбранный так, что max a_j = 1.
   Оптимальное соотношение “риск – доход” в этом случае составит:
   r_net = ( l ^T S ^–1 l )^0.5
2. a максимизирует соотношение “риск – доход” тогда и только тогда, когда все надбавки нетто-перестрахование ( a_i l_i ) совпадают с “честными” надбавками.

Замечание.
Решение a представляемое данной теоремой оказывается значимым только тогда, когда все a_i ³ 0. И действительно, неразумно предполагать, что компания может занять “короткую” позицию по одному из своих страховых портфелей. Поиск решения a , которое всегда удовлетворяет условию a ³ 0 является сложной оптимизационной проблемой с ограничениями. Однако эта проблема обычна для финансовой теории, например см. W.F. Sharpe (1970).