П1. Мы должны максимизировать следующее выражение:

r = (a₁ l₁ + … + a_n l_n) (S_{i j} a_i a_j s_{i j} )^–0.5

Дифференцируя его по a₁ , ... ,a_n и приравнивая полученные выражения к нулю получаем уравнения вида:

После некоторых простых преобразований мы получим набор формул вида:

l s²(S^*_net) = l_netS_{j=1 …n} a_j s_{i j}

Или в матричной форме:

l s²(S^*_net)/ l_net = S a Û a = c S^–1 l

Теперь докажем формулу для r_net :

D S^* = a^TS a = c² l^TS ^-1 S S ^–1 l = (c l^T) (cS^–1 l) = c l ^T a
r_net = l^T a / (c l^T a)^0.5 = c^–0.5 ( l^T a)^0.5 = c^–0.5 (c l^T S ^–1l)^0.5 = (l^T S ^–1l)^0.5

П2. a_i l_i является для всех i “честной” надбавкой тогда и только тогда, когда найдется некоторая константа с такая, что для всех i верно:
a_i l_i = c Cov(_i X^*_i , S^*_net). Последнее эквивалентно такой системе равенств:

a_i l_i = c S_j=1…n a_i a_j s_{i j}
l_i = c S_j=1…n s_{i j} a_j
l = cS a
a = c^–1 S ^–1 l

Что и эквивалентно тому, что a максимизирует соотношение “риск – доход”.

Числовой пример.
Пусть есть три страховых портфеля:

s₁₁ = 1 , l₁ = 0.2 Þ l₁ / s₁₁^–0.5 = 20%
s_{2 2} = 4 , l₂ = 0.6 Þ l₂ / s_{2 2} ^–0.5 = 30%

Можно считать, например, что первый портфель – портфель договоров автомобильного страхования, а второй – договоров страхования жилища. Мы предположим, что оба портфеля подвержены некоторого природного явления, например шторма, данный риск частично покрыт договором перестрахования эксцедента убытка от события с высоким собственным удержанием. Поэтому корреляция между двумя портфелями положительна, предположим она равна 0,2.

Третий вид бизнеса состоит из промышленных рисков с параметрами:

s₃₃ = 9*(1,5)² = 20,25 , l₃ = 1,8 Þ l₃ / s ₃₃^–0.5 = 40%

Интерпретация здесь следующая: Если третий и второй портфели приносят одинаковый доход, то у третьего портфеля стандартное отклонение составит 3, а не 2 как у второго. Далее считается, что промышленный портфель имеет объем в 1,5 раза больше, чем второй. Мы предполагаем, что промышленный портфель не коррелирован с портфелями рисков частных лиц. Таким образом:

Из нашей теоремы следует, что вектор собственных удержаний таков a^Т = (1; 0,93; 0,61). Что дает: s(S^*_net) =3,57; l_net = 1,85 ; r_net = 0,518 . Таким образом оптимальное соотношение “риск – доход” намного выше, чем это соотношение для отдельных видов бизнеса.

Однако, если мы рассмотрим комбинированный портфель брутто-перестрахование, то получим: s(S^*) = 5,1; l = 2,6 ; r = 0,509 , т.е. соотношение “риск – доход” почти такое же, как оптимальное. Чтобы достигнуть оптимального соотношения риска и дохода компания должна отдать в перестрахование 7% от портфеля страхования жилища и 39% от промышленного портфеля. Одновременно с этим она потеряет 0,75 ожидаемого дохода из 2,6. В связи с этим может возникнуть вопрос: “Является ли незначительное улучшение соотношения “риск – доход” достаточной компенсацией за такую потерю дохода?”

Давайте предположим, что при заданных R = ED^*u и V = DD^*u компания выбирает такое значение капитала u, что максимизируется
2tR/u – V/u². Это равноценно предположению, что компания использует целевую функцию Markowitz'а для определения оптимальной величины капитала при заданном риске и доходе. Оптимальный капитал есть u = t^–1 V/R . При t = 0,25 получим:

Где портфель № 4 есть комбинированный портфель брутто-перестрахование, а № 5 – оптимальный портфель.

Данный пример иллюстрирует, что объединение портфелей приводит к существенной экономии капитала и улучшению соотношения “риск – доход”. Также он иллюстрирует тот факт, что, если мы комбинируем портфели неоптимальным образом, то между ними возникает взаимное финансирование. Пусть S^* – комбинированный портфель, тогда честные надбавки составят

l_i = m u Cov(X^*_i , S^* ) / DS^* : l₁ = 0.14; l₂ = 0.44; l₃ = 2.02

В то время как реальные надбавки составляют соответственно 0,2 ; 0,6 и 1,8. Т.е. существует финансирование портфеля 3 за счет портфелей 1 и 2!