Особый случай.
Пусть X_i^* принимает значения L_i и 0 c вероятностью p и 1 – p соответственно; и l_i = l EX_i^* = l p L_i тогда мы имеем:

DX_i^* = p (1 – p) L_i² » pL_i²   ;   p << 1

И оптимальное собственное удержание есть

a_i = с l_i / s²_i » cl p L_i / pL_i² = cl / L_i

И удерживаемая доля для каждого риска такова, что собственное удержание в денежных терминах одинаково для всех рисков, т.е. перестраховочное соглашение, которое максимизирует соотношение “страховой риск – доход” есть договор перестрахования эксцедента сумм, причем собственное удержание равно наименьшей страховой сумме.

Для соотношения “риск – доход” брутто- и нетто-перестрахование мы можем записать:

Числовой пример.
Давайте предположим, что существуют два типа рисков: L₁ = 1, а L₂ = 100; причем вероятность реализации риска одинакова и составляет 0,001. Имеется 10000 рисков первого типа и 1000 – второго. Надбавка (прибыль) составляет 3%. Имеем:

s(S^*) » (0,001(10000 + 100² 1000))^0.5 = 100,5 ; l = 6,0 ; r = 0,060

Согласно приведенной выше теоремы, перестраховое соглашение, максимизирующее соотношение “риск – доход” есть эксцедент суммы с собственным удержанием равным 1. Нетто-перестрахование записываем:

s(S^*_net) » (0,001(10000 + 1000))^0.5 = 10,05 ; l = 3,03 ; r = 0,301

Откуда видно, что соотношение “страховой риск – доход” нетто-перестрахование много выше, чем до перестрахования.

Пусть S^* = X₁^* + … + X_n^* есть портфель индивидуальных рисков, где каждый риск есть сумма обычного риска и катастрофического риска: X^*_i = _oX^*_i + _cX^*_i . И тогда : S^* = _oX₁^* + … + _oX_n^* + _cX₁^* + … + _cX_n^* .

Далее предположим, что Cov (_oX_i^* , _oX_j^*) = d_{i j} s_o² ; причем d_{i j} равна 1, если i = j, и 0 в остальных случаях. А Cov (_сX_i^* , _сX_j^*) = s_c² для всех i и j. Т.е. обычные риски не коррелированы, а катастрофические полностью коррелированы. Далее предполагаем, что Cov (_сX_i^* , _oX_j^*) = 0 для всех i и j.

Отсюда следует, что Cov(X_i^* , X_j^*) = Cov(_oX^*_i + _cX^*_i , _oX^*_j + _cX^*_j) = d_{i j} s_o² + s_c² и DS^* = ns_o² + n²s_c².

Теперь давайте предположим, что подверженность катастрофическому риску перестрахована с помощью договора перестрахования эксцедента убытка от события с собственным удержанием х. Тогда

S^*_net = S_oX^*_i + (S_cX^*_i) ^ x

Чтобы рассчитать значение (S _cX^*_i) ^ x, как функцию от х, нам видимо придется сделать предположения о распределении катастрофического риска. Мы сделаем экстремальное предположение, что перестраховывается весь катастрофический риск, т.е. х = 0. Как следствие имеем: DS^*_net = ns_o²

Пусть m_о и m_с обозначают чистую рисковую премию за обычный риск и за катастрофический риск, соответственно; а l_о и l_с – надбавки к премиям для этих двух рисков. Тогда:

Предполагая, что надбавка к перестраховым премиям за катастрофический риск совпадает с надбавкой за этот риск к прямым страховым премиям, мы получим, что r_net = n^0.5 m_o l_o / s_o , что обычно намного меньше, чем исходное r.