Теперь мы обратимся к проблеме распределения капитала по отдельным рискам. Пусть D^*u = S_i=1…n X_i^* есть некоторое распределение общего риска компании по отдельным рискам. Необходимый капитал пропорционален
DD^*u = S_i=1…n Cov (X_i^* , D^* u) , поэтому правильно было бы выделить на каждый риск X_i^* объем капитала u_i пропорциональный вкладу данного риска в общую волатильность доходов компании: u_i = k Cov (X_i^* , D^*u). Поскольку сумма всех u_i равна капиталу компании u , то:

u_i = u (DD^*u)^–1 Cov (X_i^* , D^*u)

Дополнительный доход, который компания ожидает получить принимая на себя риск s(D^*u) эквивалентен
(r - r₀) u ; где r₀ обозначает безрисковую процентную ставку. Было справедливо распределять дополнительный доход по рискам пропорционально затраченному капиталу.

Определение.
Справедливой надбавкой для риска X_i^* назовем величину

(r - r₀) u_i = (r - r₀) u (DD^*u)^–1 Cov (X_i^* , D^*u)

Что эквивалентно стоимости капитала, необходимого чтобы принять в страхование риск X_i^*.

Мы предполагаем, что компания есть price-taker (т.е. работает по рыночным ценам), поэтому справедливая надбавка не есть способ определения страховых тарифов, но путь определения желаемого состояния. В реальности же существует субсидирование одних рисков за счет других. Некоторые риски имеют более высокую доходность, чем справедливая надбавка, а остальные – более низкую. Ниже мы покажем, что если портфель оптимизируется без наложения ограничений, то реальная надбавка для каждого риска будет равна справедливой. Это дополнительное подтверждение правильности нашего способа распределения капитала по рискам.

Теперь мы обратимся к проблеме максимизации соотношения “страховой риск – доход”. При предположении, что надбавки для отдельных рисков заданы существуют два пути увеличения данного соотношения: комбинирование рисков в портфеле и покупка перестрахования. Мы проиллюстрируем воздействие перестрахования и портфельного эффекта на соотношение “риск – доход”.

Пусть X₁^* , …, X_n^* некоррелированные риски входящие в портфель S^* = X₁^* + … + X_n^*. Пусть l_i обозначает надбавку для риска i , а s²_i – его дисперсию. Тогда l = l₁ + … + l_n и s (S^*) = (s²₁ + … + s²_n )^1/2 . Предположим также, что для каждого отдельного риска i компания удерживает долю a_i и, соответственно, передает в перестрахование долю (1 – a_i).

Теорема.
При сделанных выше предположениях набор a₁ … a_n , который максимизирует соотношение “страховой риск – доход” нетто-перестрахование ( r_net = Sa_i l_i (Sa_i² s²_i)^–1/2 ) есть набор a_i = с l_i /s ²_i , где с есть константа, которая должна быть выбрана так, чтобы 0 £ a_i £ 1 для всех i. При определенных таким образом собственных удержаниях

r_net = (S l_i² / s²_i)^1/2

Доказательство.
Дифференцируя r_net по a_j и приравнивая производную нулю, имеем:

А оптимальное значение r_net получается путем подстановки полученных значений a_j в формулу для r_net.