|
Библиотека Инструменты Все Страховщики Рейтинги Доп.Инфо Законодательство Ссылки. Советы Магазин Написать
|
Пример 3.
Ранее мы предполагали, что компания не может выпускать ценные бумаги, т.е. Ai ³ 0 для всех i. А теперь мы сделаем такое
Предположение 8.
Компания может выпускать ценные бумаги, т.е. величины Ai не ограничены.
Без потери общности рассуждения мы можем считать, что n ³ m и R*iL º R*i ;
i = 1…m . Теперь мы введем такое упрощающее обозначение: Bj = Aj – aj Lj . И наша модель перепишется следующим образом:
D*u – r0 u = Si=1…m ai
(EX*i + li – X*i ) + Sj=1…n (R*j –r0 ) Bj
Мы имеем: m = (5 , 16 , 0,01 , 0,02 , 0,1 , 0,08)
Решение задачи без ограничений теперь следующее:
x = c S –1 m = ( 1 , 0,8 , –608,7 , 455,3 , 121,2 , 69,6 )Т
Это решение теперь допустимо, а значит допустимый и оптимальный портфель таков:
| Страховой риск | Коэффициент ai | Ожидаемая прибыль | Вклад в дисперсию |
| ЕХ*1–X*1 + l1 | 1 | 5 | 310 |
| ЕХ*2–X*2 + l2 | 0.8 | 12,8 | 793,6 |
| Инвестиционные риски | Чистые инвестиции Bj | | |
| R*1 – r0 | –608,7 | –6,09 | –377,4 |
| R*2 – r0 | 455,3 | 9,11 | 564,5 |
| R*3 – r0 | 121,2 | 12,12 | 751,7 |
| R*4 – r0 | 69,6 | 5,57 | 345,1 |
| Всего | 37,4 | 38,51 | 2387,5 |
Предполагая t = 0,25, получим, что оптимальное значение капитала u = t–1 V/R = 247,99.
Важные свойства оптимального портфеля:
- Компания передает в перестрахование 20% от “индустриального” портфеля.
- Полный объем инвестиций компании активы категорий 1 и 2 (–208,7 и 935,3 соответственно) полностью соответствует объемам инвестиций в
эти активы которые должны были бы быть осуществлены согласно оптимальным (но недопустимым) портфелям без ограничений из предыдущих примеров.
- Объем чистых инвестиций составил 37,4, что заметно меньше
оптимального капитала равного 247,99.
- Вклад в ожидаемую прибыль и суммарную дисперсию финансовых рисков (включая короткую позицию по риску кривой доходности) больше, чем вклад страховых рисков (54% против
46%).
- Оптимальное соотношение “риск – доход” составляет 0,788.
- Соотношение ожидаемой прибыли и вклада в общую дисперсию одинаково для всех рисков и составляет 1,6%.
Обсуждение предположения 8.
Сравнение двух последних примеров показывает, что, отбросив ограничения Aj ³ 0 , можно добиться большего значения
отношения “риск – ожидаемый доход” и меньшей величины чистых инвестированных активов. На практике страховые компании могут выпускать привилегированные акции или (через холдинговые компании) получать банковские
кредиты и выпускать облигации. Однако максимальный объем задолженности для них ограничен; а кроме того кредитная ставка для страховой компании будет выше безрисковой % ставки.
Обобщение Теоремы 4.2.
Из последнего примера Вы могли видеть, что оптимум при наличии ограничений можно найти рассчитав оптимум в условиях отсутствия ограничений, т.е. x = c S –1 m, а затем подобрав константу с таким образом, что страховая прибыль нетто-перестрахование максимальна т.е. maxj=1…2m
xj = 1.
Пусть (i1)…(ik) множество индексов, для которых x(ij) < 0. Тогда оптимум при наличии ограничений будет определяться путем максимизации следующей целевой функции:
Z = c xT m – xT S –1 x + l(i1)
x(i1) +…+ l(ik) x(ik) ® max
Где l(i1) ,…, l(ik) – Лагранжевы множители, соответствующие ограничениям x(ij) = 0 при j = 1…k.
Отсюда получается такой набор уравнений:
где di j – сивол Кронекера. В частности для переменных на которые не наложены ограничения мы получаем:
2 / l Sj si j xj = mi Что можно представить в таком виде:
li = k Cov ( –X*i , D*u )
liL – Li(RiL – r0 ) = k Cov(–X*i – R*iL
Li , D*u )
Rj – r0 = k Cov( Rj , D*u )
Т.е. надбавки соответствующие переменным, на которые не наложены ограничения равны честным надбавкам. Это еще одно подтверждение нашего метода распределения капитала и ценообразования.
|
