Оптимизация портфеля # 15


	Вернуться в Библиотеку	Содержание	<< 15 >>

Библиотека
Инструменты
Все Страховщики
Рейтинги
Доп.Инфо
Законодательство
Ссылки.
Советы
Магазин

Написать

Теорема.
При условии, что S является регулярной матрицей верно:

Оптимумом при отсутствии ограничений, т.е. вектором х максимизирующим r = x^Tm(x^TS x)^–0.5 является вектор: x = cS^–1m, причем этот вектор определяется с точностью до константы с. Оптимальное соотношение “риск – доход” при отсутствии ограничений равно r_max = (m^TS^–1m )^0.5.
x является оптимумом при отсутствии ограничений тогда и только тогда, когда реальные надбавки совпадают с честными.

Доказательство.
П1. Мы должны максимизировать r = x^Tm (x^TS x)^–0.5. Для этого проведем дифференцирование по всем x_i и приравняем полученные производные к нулю:

Где введено обозначение (s_{i j}) = . После преобразования мы получим:

m_i (x^TS x) = m^Tx S_js_{i j}x_j
m = k S x

А поскольку S – регулярная матрица, имеем : x = cS^–1m. Вставив полученное значение х в формулу для r получаем:

П2. Все реальные надбавки эквивалентны честным, если и только если выполнены следующие равенства:

a_i(l_i+ l_i^L) = k Cov ( –a_i(X^*_i+ X^*_i^L), D^*u ) : i = 1 …m
(A₁– L)(R₁– r₀) = k Cov( (A₁– L)R₁, D^*u )
A_j(R_j– r₀) = k Cov( A_jR_j, D^*u ) : j = 2…n

Используя принятые выше обозначения можно записать:

x_im_i= k Cov ( x_iZ^*_i, D^*u ) : i = 1 …m+n

При соответствующем выборе Z^*_i . Отсюда следует m_i= k S_js_{i j}x_j или, в матричной форме: m = k S x. Что и доказывает вторую часть теоремы. Замечания.

Вторая часть теоремы является дальнейшим уточнением формулы распределения капитала.
Эта теорема является обобщением теоремы из пункта 2.5.

Пример 1.

Теперь мы перейдем к численным примерам. Пусть компания имеет два андеррайтинговых риска и два риска резервов убытков, которые соответствуют двум рыночным сегментам. Риски и доходы следующие:

Портфель	Риск	l	s	l /s
Физ. Лица	X^₁*	4,5	15	30%
Юр. Лица	X^₂*	14,4	30	48%

Заметьте, мы не указали величину поступающих премий, ибо она не существенна. Пусть Corr (X^*_i, X^*_j) = d_{i j} , где d_{i j} равно 1 при равенстве i и j, а в противном случае – нулю.

Резерв Убытков	Риск	L	l^L	s	l^L/s
Физ. Лица	X^₁^L*	400	0,5	5	10%
Юр. Лица	X^₂^L*	600	1,6	10	16%
Всего		1000

При этом Corr (X^*_i^L , X^*_j^L) = d_{i j} , a Corr(X^*_i, X^*_j^L) = 0.4d_{i j} .

Отметьте, что для обоих видов риска соотношение между надбавками для двух видов бизнеса, а также соотношение между рисками одинаковы.

Существует также 4 категории активов чьи риски и доходности приведены в таблице ниже:

Категория актива	Риск	R_i– r₀	s	(R_i– r₀)/s
Среднесрочные облигации (R^₁= R^_L)	R^₁*	1%	4%	25%
Долгосрочные облигации	R^₂*	2%	6%	33%
Портфель акций	R^₃*	10%	20%	50%
Вложения в недвижимость	R^₄*	8%	20%	40%

Матрица корреляций доходности для различных видов активов следующая:

Предполагается, что страховые риски и риски активов некоррелированы: Corr (X^*_i, R^*_j) = 0. Без потери общности рассуждения мы можем предположить, что R^*_i= R^*_i^L при i = 1, 2. Это означает, что будут выбраны портфели облигаций со сроками погашения, равными ожидаемым срокам исполнения соответствующих подпортфелей обязательств компании.

ВвБ | Ind << 15 >>