Реальные распределения убытка и частоты с.с. при системе «Bonus-Malus» # 3


	Вернуться в Библиотеку	Содержание	<< 3 >>

Библиотека
Инструменты
Все Страховщики
Рейтинги
Доп.Инфо
Законодательство
Ссылки.
Советы
Магазин

Написать

Как и в случае любой другой BMS, мы здесь имеем несократимую (не имеющую циклов) Марковскую цепь, где все состояния эргодичны ( достижимы из других состояний). В этих условиях существует стационарное распределение вероятностей, которое определяется как:

e_¥(l) = lim_n ® ¥ Qⁿe₀(l)

Здесь e₀(l) обозначает некоторое начальное распределение водителей в BMS. Стационарное распределение вероятностей не зависит от начального.

Стационарное распределение вероятностей можно также получить, решая

e_¥(l) = e_¥(l)Q

При выполнении нормализующего условия: Сумма всех компонентов вектора e_¥(l) должна быть равна 1.

Если нас интересует стационарное распределение всего портфеля (e_¥), то мы должны просто взять взвешенное среднее стационарных распределений для различных типов страхователей (различных l; см. детали в Walhin & Paris (1999) ). При нашей непараметрической аппроксимации портфеля смешанным Пуассоновским распределением имеем:

И для нашего численного примера записываем:

Таблица 6. Стационарное распределение водителей.

	l = 0,05461	l = 0,246	l = 0,95619	Портфель
0	0,8278	0,2598	0,0005	0,5728
1	0,0464	0,0724	0,0008	0,0561
2	0,049	0,0926	0,0022	0,066
3	0,0518	0,1185	0,0057	0,0783
4	0,0095	0,0876	0,0145	0,042
5	0,0075	0,0942	0,0369	0,0441
6	0,0052	0,0977	0,0939	0,0457
7	0,0014	0,088	0,2386	0,0429
8	0,0009	0,0888	0,6066	0,0516

Заметьте, что если стационарное распределение еще не достигнуто, то можно без проблем работать с промежуточным распределением. Распределение участников внутри BMS через Т лет задается формулой:

e_T(l) = Q^Te₀(l)

5. Формулировка задачи.
Когда собираются данные на рынке, если BMS уже действует, мы не наблюдаем правильные распределения величины убытка и частоты страховых случаев. Ибо на наблюдаемые данные влияет стремление страхователя получить бонус.

Реальное распределение величины убытка должно иметь более низкое среднее, а реальное распределение частоты убытков должно иметь более высокое среднее.

Давайте предположим, что часть всех водителей, p , всегда сообщает об убытках, а остальные водители (их доля равна 1 – p) сообщают только об убытках, величина которых превосходит оптимальное удержание задаваемое алгоритмом Lemaire.

Давайте также предположим, что была выполнена непараметрическая аппроксимация распределения частоты убытка для наблюдавшихся выплат. В ее ходе обнаружились r классов риска l_j , имеющих вероятность p_j . Данное распределение (N) не есть распределение числа страховых случаев, а лишь распределение числа страховых случаев, о которых было сообщено страховщику.

Функцию плотности (df) распределения N можно записать:

Пусть N’ будет обозначать реальное распределение числа требований. Его плотность записывается так:

Мы будем предполагать, что для всех классов риска p’_j= p_j , т.е. пропорции различных рисков для одинаковы для обоих распределений.

Пусть X – случайная величина, представляющая заявленный объем убытка. Пусть Z – случайная величина; реальный объем убытка. Эта переменная не известна, поскольку наблюдать можно только Х.

Плотность распределения X есть функция от плотности Z и можно записать:

f_X(x) = f_Z(x)+(1–p) f_Z(x) П_{x³
c} / (1 – F_Z(c) )

Здесь с – средняя величина удержания для портфеля.

Наша цель определить распределения для Z и для N’.