|
Библиотека Инструменты Все Страховщики Рейтинги Доп.Инфо Законодательство Ссылки. Советы Магазин Написать
|
Но дифференцируя (4) мы получили, что
| (C+q)Ф |
(2) | (1) = (L-q)
Ф'(1) - L (n+1) n * | | Ф(X - Y) Y |
n-1 | dY | . |
поэтому мы можем сказать, что что нами обнаружен разрыв второй производной вероятности выживания, который
значительно осложнит процедуру вычисления; и величина этого разрыва
L (n+1) D1 ; 0 /
(C+q).
После k последовательных дифференцирований уравнения (9) по X мы получим
интегро-дифференциальное уравнение, где будет k членов, зависящих от вероятности выживания при X - 1
| (C+qX)Ф |
(k+1) | (X) = (L-kq) Ф |
(k) | (X) + L | k-1
S
i=0 | (n+1)!
(n-k+i+1)! | Ф |
(i) | (X-1) - L (n+1)! / (n-k)! | | Ф(X - Y) Y |
n-k | dY |
Посмотрев на это уравнение и то, которое было получено после k-кратного дифференцирования (4), мы увидим разрыв
k+1-ой производной вероятности выживания при X = 1 , создаваемый наличием дополнительных членов,
зависящих от Ф(X-1) и разрывом k-ой производной:
| H1 ; k+1 = | L-kq
C+q | H1
; k + L / (C+q) | k-1
S
i=0 | (n+1)! i!
(n-k+i+1)! | D1 ;
i |
(Мы будем обозначать Hm ; j величину разрыва j-ой
производной при X = m)
Теперь обратим внимание на то, что при X = 2 в интегро-дифференциальное
уравнение для всех производных вероятности выживания старше 3-ей входят разрывные производные вероятности
выживания при X = 1, поэтому при X = 2 будут наблюдаться разрывы производных начиная с 4-ой, по той
же причине при X = 3 будут наблюдаться разрывы, начиная с 6-ой, и при X = m будут наблюдаться
разрывы производных начиная с 2m-ой. Величины этих разрывов будут определяться разрывами при капитале
меньшем на 1 и могут быть вычислены по формуле:
| Hm ; k+1 = | L-kq
C+qm | Hm ; k + L / (C+qm) | k-1
S
i=2m-2 | (n+1)!
(n-k+i+1)! | Hm-1 ;
i |
После n+1-го дифференцирования уравнения (9) будет получено дифференциальное
уравнение:
| (C+qX)Ф |
(n+2) | (X) = (L-(n+1)q) Ф |
(n+1) | (X) + L | n
S
i=0 | (n+1)!/i!Ф |
(i) | (X-1) - L (n+1)! Ф(X) |
Данное уравнение мы можем решать разложением в степенной ряд, однако, поскольку функция имеет разрывы производных
при целых значениях X, то для этого потребуется отдельный ряд для каждого из интервалов вида [m;m+1).
Еще раз отметим отличия решения (9) от решения (4): во-первых, при дифференцировании (9) возникают члены зависящие
от вероятности разорения при X - 1;во-вторых, имеются разрывы производных при целых X;в-третьих,
разложение в ряд осуществляется отдельно для каждого интервала.
Все эти отличия будут характерны и для решения
уравнения (3).
|
