|
Библиотека Инструменты Все Страховщики Рейтинги Доп.Инфо Законодательство Ссылки. Советы Магазин Написать
|
Формулы (7) и (8) позволяют получить решение (6) в форме степенного ряда. Нам остается сказать пару
слов о том, когда решения (6), а следовательно, и (2) достаточно для вычисления вероятности выживания.
Все дело в том, что нельзя вычислить, имея такого вида решение, вероятность выживания на отрезке
[0;1], не зная вероятность выживания при нулевом капитале. А ее мы можем определить, только умея
вычислять вероятность выживания для очень больших X , а именно для таких, что производная
вероятности выживания становится близкой к нулю. Поэтому только тогда, когда максимально возможный
размер требования очень велик полученного нами решения (2) достаточно, в противном случае нам
придется решить (3).
Преобразуем (3) в дифференциальное уравнение.
Уравнение (3) по своему виду очень похоже на уравнение (2), однако, поскольку в (3) входит определенный
интеграл с фиксированными верхним и нижним пределами, то при дифференцировании данного уравнения по
X , которому мы (3) и подвергнем, возникнет дополнительный член, связанный с вероятностью
разорения при X - 1.
Как и ранее мы начнем со степенного распределения требований. В этом
случае (3) примет такой вид:
| (C+qX)Ф'x(X) = LФ(X) - L (n+1)* |
| Ф(X - Y) Y |
n | dY | (9) |
Для решения (9) нам нужно знать Ф(1) и Ф'(1). Эти величины мы вычислим решив (4), но они
будут измерены в единицах Ф(0). Дифференцирование (9) будет отличаться от оного для (2) только
дифференцированием интеграла. В первую очередь проводится замена переменной
Z = X - Y и
интеграл приобретает вид:
затем проводится дифференцирование по X, при этом производная данного интеграла будет включать
3 члена порожденных изменениемнижнего предела интегрирования,верхнего предела,подынтегрального
выражения,
но второй член будет нулевым из-за равенства подынтегрального выражения нулю при X=Z.
Итак, производная интеграла имеет вид:
| - Ф(X-1) + n |
| Ф(Z) (X-Z)
|
n | dZ |
и следовательно при дифференцировании (2.9) мы получим уравнение:
| (C+qX)Ф |
(2) | (X) = (L-q) Ф'(X) + L
(n+1) Ф(X-1) - L (n+1) n * | | Ф(X - Y) Y |
n-1 | dY | . |
Из этого уравнения может быть получена формула для вычисления второй производой вероятности выживания в 1.
Подставив в последнее уравнение X = 1 мы получаем:
| (C+q)Ф |
(2) | (1) = (L-q) Ф'(1) + L
(n+1) Ф(0) - L (n+1) n * | | Ф(X - Y) Y |
n-1 | dY | . |
|
