|
Библиотека Инструменты Все Страховщики Рейтинги Доп.Инфо Законодательство Ссылки. Советы Магазин Написать
|
Всего нам понадобится, как и при степенном распределении, n + 1 дифференцирование.
После этого мы получим дифференциальное уравнение, сходное с тем что было в классическом
случае*, и n дополнительных начальных условий вида (5)
необходимых для его решения:
| (C+qX)Ф |
(n+2) | (X) = (L-(n+1)q)
Ф |
(n+1) | (X) - L | | Gi (i+1)! Ф |
(n-i) | (6) |
Решать уравнение (6) мы будем в следующей главе путем разложения в степенной ряд.
Строим ряд.
Мы разложим функцию вероятности выживания страховой компании в степенной ряд по капиталу
относительно точки X = 0, пользуясь уравнением (6). Итак, пусть при капитале меньшем 1
(мы используем те же обозначения, что и ранее); коэффициенты D
связаны с производными вероятности выживания равенством:
В самом начале вычисления коэффициентов разложения в ряд мы сталкиваемся
с проблемой: в данной модели, в отличие от классического случая, мы не знаем вероятность
выживания при нулевом капитале. Нам придется определить эту величину потом, когда мы сможем вычислить
вероятность выживания при больших значениях X; а пока будем измерять вероятности в
единицах D1 ; 0. Из (2) следует, что
D1 ; 1 =
L/C D1 ; 0. А из n дополнительных начальных условий вида (5) вытекает формула
для вычисления коэффициентов со 2-го до n+1-го:
| D1 ; k+1 = | (L-kq) k!
C (k+1)! |
D1 ; k+1 - L | | (i+1)! (k-i-1)!
C (k+1)! | Gi D1 ; k-i-1 | (7) |
Остальные коэффициенты разложения вероятности выживания в ряд вычисляются с использованием уравнения
(6). Но если n+2-ой коэффициент получается простой подстановкой в (6) нулевого значения X
, то для вычисления последующих коэффициентов нужно дополнительное дифференцирование уравнения (6), при
этом получится такое выражение для k+1-ой производной (при k > n):
| (C+qX)Ф |
(k+1) | (X) = (L-kq)
Ф |
(k) | (X) - L | | Gi (i+1)! Ф |
(k-i-1) | . |
Теперь подставив в это выражение X = 0 и вспомнив о связи коэффициентов ряда с производными мы
получаем формулу для вычисления коэффициентов ряда, начиная с n+2-го:
| D1 ; k+1 = | (L-kq) k!
C (k+1)! |
D1 ; k+1 - L | | (i+1)! (k-i-1)!
C (k+1)! | Gi D1 ; k-i-1 | (8) |
|
