l_i ^j = exp( c_i ^j b ^j + e_i ) = exp( c_i ^j b ^j ) u_i

Это соответствует вероятности для Отрицательного Биномиального распределения с параметрами a и exp( c_i ^j b^j ). Можно показать, что подобная параметризация не влияет на результат, если в регрессии присутствует постоянный член. Ожидаемое значение u_i было принято нами равным 1, чтобы среднее e_i было равно 0. Тогда:

EK_i ^j = exp( c_i ^j b ^j ) и

Интересующиеся читатели могут больше узнать об Отрицательных Биномиальных регрессиях в Lawless (1987). Страховщик должен рассчитать наилучшую оценивающую функцию для ожидаемого числа убытков в периоде t+1, используя информацию о частоте убытков за предыдущие t периодов, а также данные об индивидуальных характеристиках за t+1 период. Давайте обозначим эту функцию l_i^t+1 ( K_i¹ , … , K_i^t ; c_i¹ , … , c_i^t ). Используя Теорему Байеса можно показать, что апостериорная функция структуры для застрахованного, имеющего историю убытков K_i¹ , … , K_i^t и характеристики c_i¹ , … , c_i^t есть Гамма с измененными параметрами . Используя классическую квадратичную функцию потерь можно получить, что оптимальной оценивающей функцией при заданных наблюдавшихся K_i¹ , … , K_i^t и C_i¹ , … , C_i^t будет:

Где мы используем общее число убытков за t периодов. Когда t=0, тогда l_i ¹ = exp( C_i ¹ b^j ), что означает, что в первом периоде используется только априорная информация. Более того, когда мы используем вместо регрессионного компонента некоторую константу b₀, мы получаем хорошо известную однофакторную модель без регрессии, которая известна по Lemaire (1995) или Ferreira (1974).

Теперь мы будем рассматривать обобщенный множитель бонусов и штрафов, возникающий, если учитывается величина убытков. Он может быть построен следующим образом.