На главную страницу
Вернуться в
Библиотеку		 Содержание<< 4 >>
Библиотека

Инструменты

Все Страховщики

Рейтинги

Доп.Инфо

Законодательство

Ссылки.

Советы

Магазин

Написать
 

 

2.2. Компонент для величины убытка.

 Теперь давайте рассмотрим компонент модели, отвечающий за величину убытка. Пусть х обозначает величину убытка для каждого застрахованного. Мы будем считать, что у – средняя величина убытка для каждого застрахованного, и предположим, что условное распределение величины каждого убытка при заданной величине среднего, x|y, для каждого застрахованного является однопараметрическим экспоненциальным распределением с положительным параметром у ; и имеет функцию плотности распределения вида:

f(x | y) = y –1 exp(x/ y)

Средняя величина убытка не одинакова для различных застрахованных, но принимает различные значения, и поэтому нам кажется, что мы можем представить ее в форме априорного распределения. Рассмотрим случай, когда это априорное распределение средней величины убытка есть Инвертированное Гамма распределение с параметрами s и m и функцией плотности ( смотри, например, Hogg, Klugman (1984) ):

Ожидаемое значение для средней величины убытка у равно m (s–1)–1. Тогда можно показать, что плотность безусловного распределения величины отдельного убытка х будет:

P(x) = s ms (x+m) –s–1

А это как раз плотность распределения Парето с параметрами s и m. Таким образом одним из способов появления Парето распределения является следующий: Если распределение величины убытка при заданном среднем, x|y, является Экспоненциальным с параметром у, а средняя величина убытка у имеет Инвертированное Гамма распределение с параметрами s и m, то безусловное распределение величины убытка х есть распределение Парето с параметрами s и m. Таким образом от относительно простого экспоненциального распределения мы перешли к распределению Парето, обладающему очень тяжелым хвостом; и вместо использования экспоненциального распределения, которое зачастую плохо подходит для моделирования величины убытка, мы сможем использовать распределение Парето, которое часто является отличным кандидатом при моделировании величины убытка. Приняв, что средний размер убытков у имеет Инвертированное Гамма распределение, мы вводим в модель неоднородность страхового портфеля, которая выражается в различии размеров убытков у разных застрахованных. Мы должны отметить, что данный способ генерирования распределения Парето не впервые появляется в страховой литературе. Например, его можно найти в Herzog (1996). Однако, насколько нам известно, мы первыми используем его при построении BMS.

Чтобы построить оптимальную BMS, которая учитывает размеры всех убытков, мы должны определить апостериорное распределение средней величины убытка у для некоторого застрахованного, имея информацию о всей истории убытков за то время, пока он находится в нашей системе. Предположим, что застрахованный находится в нашем портфеле в течение t лет; в i-ом году он спровоцировал ki ДТП; их общее количество равно K; а размер убытка в k-ом ДТП составил xk . Тогда информация, которую мы имеем об истории величин убытков для данного застрахованного, имеет форму вектора x1 , x2 , …xK; а общий объем убытков, которые причинил данный застрахованный равен x1 + x2 + …+ xK. Применяя теорему Байеса, мы получим апостериорное распределение средней величины убытка при условии, что история величин убытков для данного застрахованного есть x1 , x2 , …xK; и плотность этого распределения есть:

Присмотревшись к этой формуле, мы увидим, что имеем дело с функцией плотности Инвертированного Гамма распределения с параметрами s+K и m+ x1 + x2 + …+ xK. Это означает, что появление за t лет K убытков с обшей величиной x1 + x2 + …+ xK заставляет нас пересмотреть прогнозируемое распределение средней величины убытка у и предполагать, что это распределение есть Инвертированное Гамма с параметрами s+K и m+ x1 + x2 + …+ xK. При этом мы остаемся в том же классе распределений, что и ранее. Математическое ожидание средней величины убытка будет:

E x|y = ( s+K–1 )–1 (m+ x1 + x2 + …+ xK )         (2)

И предполагаемое распределение величины отдельного убытка х в течение будущего года также будет распределением Парето.

ВвБ | Ind << 4 >>
Hosted by uCoz