Библиотеку
|
| Вернуться в Библиотеку | Содержание | << 3 >> |
|
Библиотека
|
2. Разработка оптимальной BMS, базирующейся на апостериорном критерии, включающем частоту и величину убытков. Предполагается, что число убытков для каждого застрахованного независимо от величины убытков, чтобы можно было рассматривать компоненты модели для частоты и величины по отдельности.2.1. Компонент учитывающий частоту убытков. Для частотного компонента мы будем использовать ту же структуру, что и в Lemaire (1995). Мы будем считать, что страховой портфель гетерогенен, и все застрахованные подвержены постоянному, но не равному риску спровоцировать ДТП. Предположим, что число страховых случаев k при условии, что известен положительный параметр l, имеет Пуассоновское распределение:Pl (k | l) = e–l lk / k! Можно считать, что l обозначает различные уровни риска спровоцировать ДТП для каждого застрахованного. Давайте предположим, что структура портфеля такова, что l имеет Гамма распределение с положительными параметрами a и t; тогда l имеет функцию плотности распределения вида: u( l ) = l a-1 tae –t l / G(a) Среднее для данного распределения равно a / t; а дисперсия – a / t2. Тогда можно доказать, что безусловное распределение числа убытков k будет Негативное Биномиальное с параметрами a и t, с функцией плотности вероятностей:
Для данного распределения среднее также равно a / t; дисперсия же составит (a / t)(1+t-1). Дисперсия у Отрицательного биномиального распределения превышает среднее. Данное свойство является общим для всех смесей Пуассоновских распределений; оно позволяет нам работать с данными, которые имеют сильный разброс. Давайте обозначим K= k1 + k2 +…+ kt общее число страховых случаев произошедших с данным застрахованным в течении t лет, где ki – число убытков в году i. Мы применим теорему Байеса и получим апостериорную функцию структуры l для застрахованного или группы застрахованных с историей убытков k1 , …, kt , которую мы обозначим u(l | k1 , …kt ) . Эта функция: u(l | k1 , …kt ) = (t + t)K+a lK+a–1 e–(t + t)l / G(a+K) Эта функция есть функция плотности для Гамма распределения с параметрами a+K и t+t. Используя квадратичную функцию потерь, мы получим, что оптимальный выбор lt+1 для застрахованного с историей убытков k1 , …, kt есть среднее для апостериорной функции структуры, т.е. lt+1 (k1 , …, kt) = (a+K ) / (t + t) = lc (a + K) / (a + tlc) (1) где lс = a / t. Из полученных формул следует, что появление K убытков за t лет вынуждает нас изменить параметры Гамма распределения для прогнозируемого числа убытков в течение последующего года с a и t на (a+K) и (t+t) соответственно, но при этом мы отмечаем, что Гамма распределение имеет замечательное свойство стабильности функции структуры, так как Гамма -- соединительная функция Пуассоновского правдоподобия. |
