Модели, которые отмечались выше, являются функциями времени и числа прошлых убытков, и не учитывают индивидуальные характеристики каждого застрахованного. В этом случае, как отмечалось в Dionne, Vanasse (1989), премии не изменяются одновременно с другими переменными, которые могут оказывать влияние на распределение числа убытков. Наиболее интересным примером является возраст застрахованного. Предполагается, что возраст имеет отрицательный эффект на ожидаемое число убытков, что должно предполагать уменьшение премий по мере увеличения возраста застрахованного. Таблицы для определения премий на основе BMS, базирующейся на апостериорном критерии, хотя и зависят от времени, не делают поправку на возраст, не смотря на то, что возраст является статически значимой переменной.

Dionne, Vanasse (1989, 1992) предложили интегрированную BMS, учитывающую, на индивидуальной основе, априорную и апостериорную информацию. Система бонусов и штрафов представляла из себя функцию числа лет, в течение которых застрахованный находится в BMS, числа страховых случаев, и индивидуальных характеристик водителя, значимых для числа ДТП. Picech (1994), а также Sigalotti (1994) построили BMS, включающую апостериорный и априорный критерии классификации, где мощность двигателя была единственной переменной для априорной классификации. Sigalotti разработал рекурсивную процедуру для расчета последовательности возрастающих равновесных премий, необходимых, чтобы сбалансировать доходы и расходы, компенсируя действие снижение премий, вызванное действием правил перехода в BMS. Picech предложил эвристический метод построения BMS, которая аппроксимирует оптимальную систему рейтингования водителей на основании их личных качеств. В Taylor (1997) была разработана методика создания шкалы бонусов и штрафов, которая использовалась обнаружения различий в распределениях числа убытков с помощью опыта, однако лишь в той мере, в которой эти различия не учитываются в базовых премиях. Pinquet (1998) определил дизайн оптимальной BMS при различных видах убытков, таких как убытки, произошедшие по вине застрахованного и произошедшие без его вины.

1.3. Учет величины убытков в BMS.

В моделях, кратко описанных выше, величина убытка при каждом ДТП не учитывается при разработке системы бонусов и штрафов. Страхователи при равном числе страховых случаев платят равный штраф, вне зависимости от ущерба нанесенного при страховых случаях. В этом смысле система бонусов и штрафов, разработанная на описанных выше принципах, является нечестной по отношению к страхователям, ущерб от ДТП которых был относительно мал. В настоящее время, как отмечалось в Lemaire (1995), все действующие в мире BMS, кроме системы используемой в Корее, штрафуют страхователя за число страховых случаев, не принимая в расчет величину этих убытков. В BMS, установленной законом в Корее, страхователи, которые нанесли вред личности, платят большие штрафы, чем те, кто нанес только ущерб имуществу.

Из Систем бонусов и штрафов разработанных с учетом величины убытков можно выделить те, которые были представлены в Picard (1976) и Pinquet (1997). В первом случае была обобщена модель с Негативным Биномиальным распределением числа убытков так, чтобы разделить все убытки на крупные и мелкие. Чтобы разделить крупные и мелкие убытки можно использовать два подхода: 1) Убытки меньше некоторого лимита считаются мелкими, а остальные – крупными; 2) Считать “крупными” страховые случаи, когда пострадали люди, чтобы наказывать за такие убытки отдельно.

Во второй статье была предложена оптимальная BMS, учитывающая величины убытков следующим образом: все начиналось с модели, где рейтинг страхователей строился на основе числа убытков и их величины, вводились два параметра для объяснения различий между страхователями. Они представляли собой не наблюдаемые факторы, существенные для величины убытка. Величина убытка, как предполагалось, следовала либо Гамма, либо Логнормальному распределению. Рейтингующие факторы и параметры различий вводились затем в мультиплицирующий параметр распределения. Предполагая, что гетерогенность также следует Гамма или Логнормальному распределению, автор получил доверительное выражение, которое могло быть использовано для предсказания средней величины убытков в последующий период.

Нашим первым делом в этой статье будет разработка оптимальной BMS, которая для каждого застрахованного учитывает как число убытков, так и точную величину для каждого из них. Мы будем считать, что число страховых случаев следует Негативному Биномиальному распределению, а величина убытка – распределению Парето. И таим образом мы расширяем рамки модели из Lemaire (1995), использованной для построения оптимальной BMS, основанной на числе убытков. Применяя Теорему Байеса, мы обнаружили апостериорное распределение числа убытков и апостериорное распределение величины убытков, при имеющейся информации об истории числа убытков и истории величин убытков для каждого застрахованного в течении всего времени его нахождения в нашей системе. Тех, кто желает получить больше информации об этом мы отсылаем к Vrontos (1998) .

Нашей второй задачей была разработка обобщенной системы бонусов и штрафов соединяющей вместе как априорную так и апостериорную информацию на индивидуальной основе. В этой обобщенной BMS премия будет функцией числа лет, которые водитель находится в системе, числа совершенных им ДТП, величины убытка причиненного в каждом из ДТП, а также значимых априорных рейтингующих переменных для числа убытков и их размера. Мы будем делать это, обобщая модель из Dionne, Vanasse (1989, 1992).

В Pinquet (1997) все начиналось с модели рейтинга, затем добавлялись компоненты гетерогенности. Мы же вначале создадим оптимальную BMS, опираясь только на апостериорный критерий классификации, а уже затем мы обобщим ее так, чтобы она включала и априорный критерий классификации и апостериорный.