|
Библиотека Инструменты Все Страховщики Рейтинги Доп.Инфо Законодательство Ссылки. Советы Магазин Написать
|
Оптимальный фактор доверительности.
Теперь, приняв, что при расчете IBNR мы используем линейную комбинацию IBNR, расчитанного по Методу Борнхуеттера-Фергюсона, и IBNR
рассчитанного цепным методом : Rk .. c = cRk .. CL + (1 - c)Rk .. BF>
; мы можем подобрать оптимальное значение коэффициента с ; но для этого нам потребуется задать критерий оптимальности. В качестве
такового критерия разумно взять минимизацию ожидаемого квадрата отклонения рассчитываемого резерва от реального. В этом случае, поскольку
Rk .. c есть линейная функция с , то
будет квадратичной функцией с .
Если мы теперь предположим, что U0 есть величина независимая от Ck ; Rk
; U (последнее есть общий объем выплат по рассматриваемым договорам) ; такая, что
EU0
= EU ; и имеющая известную дисперсию равную DU0 ; тогда оптимальный фактор доверительности будет
задаваться формулой:
| c* = | Pk
Qk | * |
Cov(Ck , Rk) + Pk Qk
DU0
DCk + PkPkDU0 |
Вывод формулы см. в MACK, T Credible Claims Reserves. The Benktander Method. ASTIN Bulletin vol 30 p 338.
Заметим, что если нам точно известна средняя величина выплат, то DU0 = 0 , и, следовательно,
формула для расчета c* упростится:
| c* = | Pk
Qk | * |
Cov(Ck , Rk)
DCk |
Отметим, что из последней формулы вытекает, что при отрицательной корреляции между осуществленными выплатами и предстоящими выплатами коэффициент
c* может быть отрицательным, что по определению невозможно согласно методу Гуннара Бенктандера.
Однако, для того, чтобы можно было использовать данный метод необходимо иметь модели описывающие DCk
и Cov(Ck , Rk) . То есть мы не сможем рассчитать IBNR используя только те
данные, которыми обходились ранее!
IBNR при Пуассоновском распределении числа убытков.
Теперь мы представим суммарный объем требований как сумму отдельных требований. При условии, что размер требований - одинаково распределенная величина
для всех требований, развитие резерва убытков определяется числом убытков, произошедших, оплаченных и не оплаченных.
Поскольку здесь нам не важны
выплаченные суммы и величины убытков мы будем использовать иные обозначения:nu - общее число требований;np
- число предъявленных (оплаченных) требований.nq - число не предъявленных требований.
Мы хотим рассчитать величину
резерва, а для этого нам нужно знать ожидаемое количество не предъявленных требований, равное nu- np.
А для этого нам нужно рассчитать вероятность каждого возможного значения общего числа требований при условии, что предъявлено Np
требований.
| P{nu = N | np = Np} = | P{nu =
N}З{np = Np}
P{np = Np} |
Теперь, вспомнив о том, что безусловное распределение nu является Пуассоновским с параметром l,
а при фиксированном nu равном N распределение np является биномиальным с параметрами N;
p , мы можем записать искомую вероятность так:
(lN/N! el)(N!/(Np!(N-
Np)!) pNpqN - Np)
Sk=Np lk
/k! el k!/(Np!(k- Np)!) pNpqk - Np) | =
| lN el pNpqN - Np /(Np!(N-
Np)!)
lNppNpelp/Np!
|
Теперь мы можем вычислить условное ожидание числа не заявленных требований, используя сосчитанную вероятность:
| E nq | np = Np = | Ґ
S
k=Np | (k - Np)lk el pNpqk - Np /(Np!(k- Np)!)
lNp
pNpelp/Np! | = lq |
Таким образом ожидаемое количество не предъявленных требований не зависит от количества предъявленных. Точно так же не зависит от количества предъявленных
требований и резерв убытков. А поскольку = lq E Y = q U0 , то оптимальный способ расчета резерва - БФ.
|
