Поскольку любой набор финансовых потоков может быть получен и оценен в данной модели, то мы говорим этот рынок – полный. Вопрос с оценкой в этой модели решается за счет того факта, что цена, которую мы присваиваем любому стохастическому финансовому потоку есть в точности цена портфеля облигаций, который производит этот поток в момент 1.

Давайте посмотрим как изменится наша модель, если в ее информационной структуре появится информация о подверженности катастрофическому риску. Предположим, что у нас сохранилась старая модель, но с добавлением катастрофического риска. Более того давайте предположим, что катастрофическое событие происходит вне зависимости от факторов, воздействующих на финансовый рынок. Поэтому у нашей новой модели будет четыре возможных состояния на момент 1, которые мы приводим с их краткими обозначениями:

{% ставка растет, катастрофа происходит} º {и, +}           (6)
{% ставка растет, катастрофы нет} º {u, –}
{% ставка падает, катастрофа происходит } º {d, +}
{% ставка падает, катастрофы нет } º {d, –}

Цены в момент времени 1 однопериодной и двухпериодной облигаций не связаны с реализацией или нереализацией катастрофического риска, и поэтому не связаны с переменной, описывающей катастрофический риск. Поэтому цена однопериодной облигации всегда составляет 1 в момент 1, а двухпериодной – 0,9346 при событиях {и, +} и {u, –} ; а при событиях {d, +} и {d, –} – 0,9524. Исходные цены облигаций те же. Вместо выражения (2), вектор платежей, зависящих от состояния модели, и порождаемых портфелем содержащим некоторое количество облигаций обоих видов определяется следующим выражением:

          (7)

Стоимость портфеля остается прежней, (3). В общем виде вектор платежей в момент времени 1 в нашей модели имеет вид:

( c^{u, +} , c^u,– , c^{d, +} , c^{d, –} )           (8)

Посмотрев вновь на выражение (7) мы увидим, что набор инструментов в модели (одно- и двухпериодные облигации) недостаточен, чтобы покрыть весь диапазон возможных состояний финансового потока из (8). Соответственно мы не можем вывести выражение подобное (5), которое позволяло бы оценить любой вектор финансового потока имеющий форму (8). Самое большее, что мы можем сделать это определить границы цены этого вектора так, чтобы выполнялось условие невозможности арбитражных сделок. Это можно сделать используя вектор цен разных состояний; методы расчета и примеры можно найти в [4, глава 5].

Ценообразование на неполных рынках. Мы приведем лишь набросок метода, который может использоваться при оценке секьюритизаций страхового риска на неполном рынке. Детали можно найти в [4, глава 5], ссылки на другие источники можно найти там же.

Основанием для метода, применяемого в финансовой экономике для оценки финансовых потоков на неполных рынках, служит понятие репрезентативного агента. Методика репрезентативного агента состоит из предположенной репрезентативной функции полезности и агрегативного процесса потребления. Предположим, что у нас Т-периодная экономика, в которой агенты могут принимать решения и потреблять в каждом периоде. Конкретный агент принимает решения о его будущем потреблении, которое представляет собой стохастический процесс { c(k) : k = 0, 1, …, T }. Агрегативный процесс потребления может рассматриваться как общее (для всех агентов) потребление возможное в экономике, в каждый момент времени и при каждом состоянии экономики. Давайте обозначать стохастический процесс агрегативного потребления { С*(k) : k = 0, 1, …, T }. Только выбор сделанный в начальный момент k = 0 детерминирован. Выбор в остальные моменты времени случаен и зависит от случайного состояния которое наблюдается, когда этот момент наступает. В “простых” приложениях традиционно предполагается, что функция полезности репрезентативного агента является аддитивной во времени, разделяемой, а также дифференцируемой. Аддитивность во времени и разделяемость означают, что существуют функции и₀ , и₁ , …, и_Т такие, что ожидаемая полезность агента для общего процесса потребления { c(k) : k = 0, 1, …, T } задается формулой:

E [ S _{k=0 … T} u_k(c(k))]             (9)

Из теории репрезентативного агента следует, что цена которую мы обозначим V(c) , для процесса потребления { c(k) : k = 0, 1, …, T }, описывающего будущие финансовые потоки, в момент времени 0 задается уравнением:

            (10)

Если процесс будущего агрегативного потребления в (10) известен ( или может быть определен для модели, которая будет использована ), тогда это уравнение дает линейное соотношение, которое оценивает все недетерминистические процессы потребления (или финансовые потоки) в модели. Это очень похоже на нейтральные к риску ожидания, которые используются при оценке на полных рынках, однако здесь модель закрыта за счет явных предположений по поводу полезности. Ясно, что задать функцию полезности можно по-разному, что в результате должно дать различные ценообразующие соотношения. Заметьте, что агрегативный процесс потребления играет важную роль в ценообразующих соотношениях. Во многих приложениях этого соотношения функция агрегативного потребления считается способной изменяться со временем в зависимости от некоторого экзогенного процесса.