4.1. Критерий оптимальности.

Мы получили следующее представление для дохода компании в течение финансового года:

D^*u = (ES^* + l – S^* ) + (l₁ – D^*L₁ ) – R^*_L L + D^*A

Первые два слагаемых в этой формуле представляют собой страховые риски (андеррайтинговый и развития резервов убытков), а два последние – финансовые риски (кривой доходности и активов).

Предполагается, что существует n различных категорий активов. R^*_j – случайная величина, обозначающая доходность категории j . A_j – объем средств, вложенный в активы категории j.
Т.е. D^*A = S_j=1…n R^*_j A_j.Пусть r₀ обозначает доходность безрисковых активов, тогда мы получим следующее представление избыточного дохода компании

D^*u – r₀ u = (ES^* + l – S^* ) + (l₁ – D^*L₁ ) – (R^*_L –r₀) L + S_j=1…n (R^*_j –r₀ ) A_j

Где был использован тот факт, что сумма обязательств компании и ее капитала равна сумме всех n разновидностей ее активов. Пусть

ES^* + l – S^* = S_i=1…m EX^*_i + l_i – X^*_i
l₁ – D^*L₁ = S_i=1…m l_i^L – X^*_i^L ; EX^*_i^L = 0
(R^*_L –r₀) L = S_i=1…m (R^*_i^L –r₀) L_i

D^*u – r₀ u = S_{i=1…m ai} (EX^*_i + l_i – X^*_i) + S_{i=1…m bi} (l_i^L – X^*_i^L – (R^*_i^L – r₀) L_i)
+ S_j=1…n (R^*_j – r₀ ) A_j

d^*(u) = (D^*u – r₀ u)/u ; m(u) = E d^*(u) ; s² (u) = D d^*(u)

Целью компании является максимизация величины 2t m(u) – s² (u) , причем t ³ 0. ( Дискуссию по поводу выбора такой целевой функции смотрите в секции 2.2.) И как и в секции 2.2. мы имеем:

m(u) = R ( a, b, A )/u ; s² (u) = V( a, b, A )/u²

m(u)/ s(u) = R ( a, b, A ) V^–0.5 ( a, b, A) = r ( a, b, A )

Определение.
Портфель является оптимальным тогда и только тогда, когда соответствующее ему соотношение “риск – доход” , r(a, b, A), является максимальным. В дополнение a, b таковы, что страховая прибыль нетто-перестрахование является максимальной.