Пусть L^*_t = E (S_s=1…w-t v^*(t , t+s) P^*_t+s | H_t , G_t) будет резерв компании в отношении риска X^* в конце года t. Специальным случаем является L^*_t = E X^*.
Риск развития резервов убытков в году t есть:

R^*_t = L^*_{t – 1} – P^*_t – L^*_t =
= E (S_s=1…w-t+1 v^*(t–1, t–1+s) P^*_t–1+s | H_t–1 , G_t–1) – P^*_t –
E(S_s=1…w-t v^*(t, t+s) P^*_t+s | H_t , G_t) =
= [E (S_s=1…w-t v^*(t, t+s) P^*_t+s | H_t–1 , G_t–1) – E (S_s=1…w-t v^*(t, t+s) P^*_t+s | H_t , G_t–1)] +
+ [E (S_s=1…w-t v^*(t, t+s) P^*_t+s | H_t , G_t-1) – E (S_s=1…w-–t v^*(t, t+s) P^*_t+s | H_t , G_t) ]
R^*_t = ₁R^*_t + ₂R^*_t

Предположение 6.
Процесс процентной ставки стохастически независим от процесса выплат.

При этом предположении мы получаем :

1 R^*_t = S_s=0…w-t E(v^*(t –1 , t+s) P^*_t+s | G_t-1) (E(P^*_t+s | H_t–1) – E(P^*_t+s | H_t))

1 R^*_t – риск развития резервов убытков. Элементарно заметить, что E₁ R^*_t = 0. В дополнение нужно сказать, что компания зарабатывает надбавку так, как это было описано ранее, но процесс рассчитывается по риску ₁ R^*_t . Также мы можем написать:

2 R^*_t = S_s=0…w–t E(P^*_t+s | H_t) (E(v^*(t–1, t+s) | G_t-1) – E(v^*(t, t+s) | G_t)) =
= S_s=0…w–t E(P^*_t+s | H_t) (E(v^*(t–1, t+s) | G_t-1) – E(v^*(t–1, t+s) | G_t)) +
+ S_s=0…w–t E(P^*_t+s | H_t) ( E(v^*(t–1, t+s) | G_t) – E(v^*(t, t+s) | G_t) ) =
= S_s=0…w–t E(P^*_t+s | H_t) (E(v^*(t–1, t+s) | G_t-1) – E(v^*(t–1 , t+s) | G_t) ) +
+ S_s=0…w–t E(P^*_t+s | H_t) (1 – v^{* –1}(t–1, t))

И можно видеть, что первая часть формулы есть риск кривой доходности, который препятствует дисконтированию резервов, а вторая часть – просто уменьшение дисконта при переходе к следующему году.

Можно считать, что величина “– ₂ R^*_t ” равна доходу в финансовом году t портфеля облигаций, у которого суммы, поступающие при погашении в годы t, t+1, … w равны E(P^*_t | H_t), E(P^*_t+1 | H_t), … E(P^*_w | H_t). Поэтому риск ₂ R^*_t можно полностью хеджировать подбором портфеля активов с соответствующими датами погашения.