Исходя из выражения (2.2) мы рассчитали цены F(t, T, r_t) бескупонных облигаций, размещенных в момент t, по которым в момент t + T будет выплачена 1 денежная единица:

        (2.6)

Где

Доказательство этого результата можно найти в Lamberton, Lapeyre [27, сс. 129-133]. Заметьте, что оператор получения математического ожидания применен по отношению к мартингальной мере Q, что подразумевает, что равенство (2.2) выполняется при этой мере. Из (2.6) мы получаем смоделированную нами непрерывную структуру составных процентных ставок R_{t, T} по бескупонным облигациям в момент t:

R_{t, T} = –T ^–1 ln F(t, T, r_t) = T ^–1( r_t B_T – lnA_T )         (2.7)

Моделирование оплаты убытков требует учета инфляции. Следуя нашим вводным замечаниям к Секции 2.1, мы будем моделировать инфляцию i_t используя (приведенную к годовому базису) краткосрочную процентную ставку r_t . Мы сделаем это, использовав линейную регрессионную модель зависимости инфляции от % ставки:

i_t = a^I + b^I r_t + s ^I e_t ^I         (2.8)

Здесь e_t^I – набор одинаково распределенных случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение; a^I , b^I , s^I – параметры, которые могут быть оценены с помощью метода наименьших квадратов при построении регрессии, основанной на данных наблюдений; индекс I будет использоваться для обозначения параметров связанных с общеэкономической инфляцией.

Общая инфляция по-разному влияет на отдельные виды страхового бизнеса. Например, стоимость ремонта автомобиля изменяется во времени не так, как стоимость потерь от приостановки бизнеса. Величина убытков в некоторых видах страхования сильно зависит от принимаемых законодательных и судебных решений, например в страховании ответственности производителей. Это приводит к появлению наложенной инфляции в дополнение к общеэкономической. Больше информации по этому вопросу можно найти в Daykin, Pentikäinen, Pesonen [15, с. 215], а также в Walling, Hettinger, Emma, Ackerman [41].

Чтобы смоделировать изменение частоты убытков d_t ^F ( т.е. отношения числа убытков к числу застрахованных объектов ), изменение величины убытка d _t^X, а также их комбинации, d_t^P, мы будем использовать формулы:

d_t ^F = max{ a^F + b^F i_t + s ^Fe _t^F ; –1}         (2.9)
d_t^X = max{ a^X + b^X i_t + s^X s _t^X ; –1}         (2.10)
d_t^P = (1 + d_t^F)(1 + d_t^X) – 1         (2.11)

Где e _t^F и e _t^X суть независимые одинаково распределенные стандартные нормальные случайные величины. a^F , b^F , s ^F, a^X , b^X , s ^X – параметры регрессий, которые можно определить опираясь на статистические данные.

Переменные d _t^P представляют из себя изменения в трендах убытков, вызванные изменениями инфляции. d_t^P будут применены также к величинам премий так, как это будет показано в Секции 3. Их конструкция из (2.11) обеспечивает корреляцию между агрегативной величиной убытков и премиями, которую можно проследить, наблюдая динамику инфляции.