CIR – процесс, в котором % ставка меняет направление движения при переходе через среднее, где краткосрочные ставки остаются положительными почти наверняка. Более того, модель CIR позволяет построить аффинную модель временной структуры процентных ставок, делая ее более трактуемой. Однако в некоторых исследованиях показывалось (см. Rogers [36]), что однофакторной модели в общем случае не достаточно для удовлетворительного объяснения эмпирических данных и ограничения динамики во временной структуре. Было продемонстрировано, что многофакторные модели, например из Brennan, Schwartz [6] или из Longstaff, Schwartz [29] или модели полной доходности из Heath-Jarrow-Morton [20] являются более подходящими в этом смысле. Но такие модели гораздо сложнее приметь на практике. А наш выбор в пользу CIR модели основывался на практических соображениях. Во-первых, модель просто встроить в нашу модель ДФА; во-вторых, модель имеет неплохое соответствие с данными по рынку США; в-третьих, эта модель является стандартной и широко используется, например в США.

В действительности нас интересует динамика процентной ставки за некоторый период ( который проходит между двумя моментами, в которые моделируется состояние компании ). Поэтому мы дискретизируем реверсивную модель (2.2), что дает нам:

r_t = r_t–1 + a ( b – r_t–1 ) + s r_t–1^0,5 Z_t         (2.3)

В Cox, Ingersoll, Ross [9] было показано, что процентные ставки, моделируемые с помощью (2.2), остаются положительными почти наверное. Но в дискретном случае, хотя вероятность того, что процентная ставка станет отрицательной, мала, но она не равна нулю. Чтобы избежать связанных с этим проблем мы преобразуем (2.3.) к виду:

r_t = r_t–1 + a ( b – r_t–1 ) + s r⁺_{t –1}^0,5 Z_t         (2.4)

r_t = r_t–1 + a ( b – r_t–1 ) + s r⁺_{t –1}^g Z_t         (2.5)

Вопрос о приемлемом уровне g может привести нас к проблемам калибровки моделей, с которыми мы сталкиваемся в некоторых областях построения моделей ДФА. Фактически, эти проблемы играют доминирующую роль в ДФА, заставляя многих практиков утверждать, что весь ДФА крутится вокруг калибровки моделей. Калибровка модели краткосрочной процентной ставки есть определение параметров a,b,s и g в формуле (2.5) таким образом, что смоделированные спотовые процентные ставки ( базирующиеся на мгновенном значении ) соответствовали эмпирической временной структуре % ставок, полученной при анализе рыночных цен на финансовые инструменты. В Björk [4] эта процедура названа инверсией кривой доходности. Однако, параметры модели нельзя однозначно определить, исходя из эмпирической структуры % ставок и временной структуры волатильностей, так как аппроксимация несовершенна. Это общее свойство моделей процентной ставки, базирующихся на равновесии. Но, хотя это очень важно при оценке производных ценных бумаг, базирующихся на процентной ставке, воздействие данного свойства на долгосрочный ДФА весьма ограничено.

Что касается калибровки инфляционной модели, нужно отметить, что желательно строить модель инфляции опираясь на историю инфляции. Однако не ясно будет ли инфляция в будущем следовать модели, базирующейся на прошлых наблюдениях; а результаты ДФА вероятно будут сильно зависеть от предположений сделанных относительно динамики инфляции. Следовательно, этим предположениям нужно уделить некоторое внимание. Пренебрегая этим, Вы попадаете в одну из самых распространенных ловушек ДФА. Чтобы облегчить себе подбор параметров, нужно строить модели опирающиеся не только на статистические данные, но также на экономические обоснования и экспертные прогнозы будущего развития ситуации.