В Wang (1996) предлагалось использовать другие трансформации, сходные с трансформацией пропорционального вреда, обладающие теми же желательными свойствами плюс свойством: “Если функция g(x) определяет трансформацию, то производная ее в нуле должна быть равна бесконечности.” Трансформация пропорционального вреда всегда обладает этим свойством. Подробнее смотрите в Wang (1996) и Silva, Centeno (1998). Все предлагавшиеся трансформации были возрастающими, непрерывными и вогнутыми функциями на отрезке [0,1], причем g(0) = 0 и g(1) = 1. Во всех этих случаях премии рассчитывались на основании формулы:

      (10)

Где, как и ранее S_X(t) – функция выживания для случайной величины Х. В этом случае p_g (X) = E_gX.

Если мы хотим использовать принцип назначения премий, основанный на этой функции, для ограниченного числа восстановлений, то, используя те же обозначения, что и для пропорционального вреда, мы можем записать уравнение, которому должны удовлетворять начальные премии:

E_gT_K = E_gR_K       (11)

Все эти трансформации обладают желательными свойствами, как и принцип пропорционального вреда. Поэтому, при любом из принципов назначения премий с поправкой на риск для вычисления премии можно использовать формулу (9), заменяя, где это необходимо, EP_r на E_g, где g – соответствующая функция, задающая трансформацию.

Пример 4. Мы использовали портфель из примера 1; провели дискретизацию распределения Парето, как в примере 2. Для свободных восстановлений рассчитали величины S₁^* + S₂^*, S_c^*, S₁^*, S₂^*, как это описано в секции 3. И наконец рассчитали функцию выживания, исказили ее и рассчитали ожидание по новой функции выживания для каждого значения r.

Таблицы 5 и 6 показывают величину начальных премий с поправкой на риск, согласно принципу пропорционального вреда, для различных значений r и различных значений l при одном свободном восстановлении. В таблице 5 мы отмечаем выполнение следующего неравенства:

p_r(S₁^* + S₂^* ) £ p_r(S₁^* ) + p_r(S₂^* ) £ p_r(S_c^* )

Однако при l=1 мы наблюдаем:

p_r(S₁^* + S₂^* ) £ p_r(S_c^* ) £ p_r(S₁^* ) + p_r(S₂^* )

Для r ³ 1,2; смотри Таблицу 6. Как мы говорили при обсуждении принципа стандартного отклонения в Примере 3, не правильно, чтобы комбинированному лэйере присваивалось меньшее значение премий, чем сумма премий по отдельным лэйерам, поскольку он предоставляет большую защиту. Но как уже отмечалось нами при рассмотрении распределений убытков, при малых l распределение суммарных убытков для комбинированного лэйера стремится к распределению суммы убытков для отдельных лэйеров. Поэтому, в соответствии с принципом пропорционального вреда, премия по комбинированному лэйеру должна быть очень близка к премии для суммы лэйеров, т.е. p_r(S₁^* + S₂^* ) » p_r(S_c^* ), но в это же время, по этому принципу, сумма премий должна быть больше, чем премия за сумму. Это, возможно, можно было бы наблюдать и при l=10, рассчитай мы премии для больших значений r. Однако потеря этого свойства, с которым не дружит принцип назначения премий, основанный на трансформации пропорционального вреда, не слишком важна.