|
Библиотека Инструменты Все Страховщики Рейтинги Доп.Инфо Законодательство Ссылки. Советы Магазин Написать
|
Построим дифференциальное уравнение.
Для нашей модели существует интегро-дифференциальное уравнение, задающее зависимость
вероятности выживания страховщика от его капитала в общем случае, являющееся родственным
интегро-дифференциальному уравнению для классического случая и получаемое сходным образом:
| (C+qX)Ф'x(X) = LФ(X) - L * |
|
Ф(X - Y)F(Y)dY | (1) |
К сожалению неизвестно, как в условиях данной модели вычислить величину Ф(0), поэтому
в качестве начальных условий можно использовать только: Ф(Ґ) =
1 и
Ф'(0)= L/C Ф(0). Последнее равенство следует из равенства нулю интеграла в
(1) при нулевом X.
Мы будем заниматься вычислением вероятности выживания при
ограниченности размеров требований сверху, и, как и раньше, будем измерять все величины в
единицах максимального размера требований. Мы будем полагать, что размеры требований имеют
степенное полиномиальное распределение, т.е.:
| F(Y) = | | Gi (i+1) Y |
i | Y О [0;1] |
| F(Y) = 0 | Y П
[0;1] |
Напомним, что сумма коэффициентов данного распределения должна быть равной 1.
При степенном
полиномиальном распределении уравнение (1) распадается на 2 уравнения для двух смежных
интервалов:
При капитале не превосходящем 1:
| (C+qX)Ф'x(X) = LФ(X) - L * |
|
Ф(X - Y) | | Gi (i+1) Y |
i | dY | (2) |
При X > 1:
| (C+qX)Ф'x(X) = LФ(X) - L * |
|
Ф(X - Y) | | Gi (i+1) Y |
i | dY | (3) |
Нашей первой задачей является решение уравнения (2). Поскольку вывод дифференциального
уравнения в общем случае громоздок и не нагляден, мы начнем с частного случая (степенного
распределения), а потом произведем обобщение. Итак, пусть
, тогда (2) преобразуется в
| (C+qX)Ф'x(X) = LФ(X) - L (n+1)* |
| Ф(X - Y) Y |
n | dY | (4) |
Уравнение (4) нужно продифференцировать по X . При этом мы дифференцируем левую
часть как произведение, получая в результате
| (C+qX) Ф | (2)
| (X) +
q Ф'(X) |
заметим, что второе слагаемое вызвано наличием в модели
инвестиционного дохода, и именно наличие этого слагаемого отличает наш случай от
классического. Интеграл из правой части (2.4) путем замены переменной
Z = X - Y
преобразуется в
|
