В этом приложении мы попытаемся дать читателю почувствовать идею полноты и неполноты рынка; и почему они так важны при секьюритизации страхового риска. Мы начнем с представления некоторых основных интуитивных идей этой концепции.

Немного интуиции. Разделение полных и неполных страховых рынков может оказаться трудным. В таблице 1 представлены несколько примеров видов страхового продукта, каждый с сопутствующим ему риском, и типом рынка (полный или не полный), где этот продукт обращается.

Таблица 1. Некоторые примеры страховых продуктов, и типы рынка где они обращаются.

Мы дадим краткое обоснование того, почему эти полисы обращаются на полном или неполном рынке.

Переменные аннуитеты. Мы будем предполагать, что основной риск при выпуске переменных аннуитетов связан с тем, что застрахованный умрет в период действия контракта, и страховая компания должна будет оплачивать выданные минимальные гарантии по доходности инвестиций. Поскольку инвестиции делаются в традиционные ценные бумаги, например, входящие в индекс S&P 500 , то, при условии, что смертность в портфеле аннуитетов полностью следует детерминистической модели, этот риск может быть полностью хеджирован. Инвесторы, покупающие переменные аннуитеты в общем случае стремятся приобрести не диверсификацию, а налоговые льготы и защиту вложений. Этот продукт предлагает незначительною дополнительную диверсификацию, ибо вложения осуществляются в ценные бумаги, к которым инвестор может получить прямой доступ на рынке.

Катастрофические облигации. Основной риск в катастрофических облигациях – риск того, что произойдет катастрофическое событие, вызывающее потери для держателей бумаг. Поскольку не существует других ценных бумаг, чьи платежи зависели бы от катастрофы, то катастрофические облигации не могут оцениваться путем сравнения с ц.б. уже предлагаемыми на рынке. Поэтому катастрофические облигации существуют в условиях неполного рынка. Более того, катастрофические облигации, позволяют инвестору диверсифицировать риски, ибо финансовые потоки от этих облигаций привязаны к состояниям среды, которые не замечаются существующими бумагами.

Облигации подверженные рискам смертности. Когда считается, что смертность полностью следует детерминированной таблице смертности, можно считать, что выплаты по традиционным договорам страхования следуют известному фиксированному бразцу. Когда смертность детерминирована, даже те страховые продукты, чьи выплаты привязаны к состоянию финансового рынка или процентным ставкам находятся на полном рынке. Однако, если возможны существенные флуктуации смертности для всего страхового портфеля, то этот риск не может быть хеджирован с помощью существующих ценных бумаг потому, что сейчас не существует никаких ц.б., чьи финансовые потоки следовали бы колебаниям смертности. Следовательно, облигации подверженные рискам смертности обращаются на неполном рынке.

Аннуитеты, привязанные к фондовым индексам. Данный вид аннуитетов имеет характеристики сходные с переменными аннуитетами. И по этой причине можно считать, что и они обращаются на полном рынке.

Простой однопериодный пример. Теперь мы рассмотрим концепцию полных и неполных рынков в контексте простой модели, рассматривающей обычные облигации свободные от риска дефолта.

Давайте рассмотрим однопериодную модель, в которой торгуются две облигации: однопериодная и двухпериодная. Для удобства будем считать, что эти облигации бескупонные. Далее мы будем считать, что финансовый рынок к концу периода может переходить только в одно из двух состояний: “% ставки выросли” или “% ставки упали”, и что цены на облигации ведут себя в соответствии с биномиальной моделью. (Цена однопериодной облигации в любом случае возрастает с 0,9434 до 1; цена двухпериодной облигации в случае падения % ставки возрастает с 0,8901 до 0,9524, а в случае роста – только до 0,9346.) Цены облигаций в этой модели могут быть вычислены путем определения нейтральных по отношению к риску вероятностей и процентных ставок на один период, однако для простоты мы просто назначим эти изменения цен, и заметим, что они существуют на рынке, где невозможен арбитраж.

Предположим, мы выбрали некоторый портфель, состоящий из обоих видов облигаций. Давайте обозначим количество однопериодных бумаг п₁ , а двухпериодных – п₂ . Этот портфель будет иметь соответствующую цену при любом из двух состояний рынка в конце периода, возможных в нашей модели. Из этих цен мы составим вектор. Тогда цена портфеля в конце периода в матричной форме будет равна произведению двух матриц:

            (2)

Стоимость такого портфеля равна 0,9434 п₁ + 0,8901 п₂           (3)

Матрица 2х2 в выражении (2) несингулярна, поэтому любой вектор финансового потока в момент времени 1 может получен путем формирования подходящего портфеля из этих двух облигаций. Поэтому, если мы хотим в конце периода получить вектор финансового потока

( c^u , c^d )             (4)

то мы должны сформировать портфель:

цена которого определяется по формуде (3). Проведя арифметические расчеты, можно обнаружить, что цена любого финансового потока в форме (4) определяется выражением:

0.4717 ( c^u + c^d )             (5)