Пусть X₁^* , …, X_w^* обозначает риск или портфель рисков, приходящийся на годы возникновения убытков 1 … w. Пусть P^*_{t, s} обозначает величину выплат в s-ом году развития резерва по убыткам произошедшим в году t. Предполагается, что любой риск из X_t^* полностью оплачивается в течение w лет развития резерва. Тогда:

X_t^* = S_{s=1…w–t+1} v^*(t–1, t–1+s) P^*_{t, s}

Где v^*(t, s) определяется также, как в предыдущей подсекции. H_{t, s} (s = 1 … w) – s-алгебра порожденная { P^*_t,1 ,…, P^*_{t, s}}. G_t – s-алгебра порожденная {d^*(u) | u £ t}. Резерв убытков произошедших в году t, который компания поддерживает на начало года w есть:

L^*_{t, w–t} = E(S_{s=w–t+1…w} v^*(w–1 , t+s–1) P^*_{t, s} | H_{t, w–t} , G_w–1)

К концу года w компания выплатит P^*_{t, w–t+1} и установит резерв в размере:

L^*_{t, w–t+1} = E (S_{s=w–t+2…w} v^*(w, t+s–1) P^*_{t, s} | H_{t, w–t+1} , G_w)

Риск, реализовавшийся в году t и материализовавшийся в году w составляет

А общий риск резервов убытков, таким образом, составляет D^*L = – S_t=1…w–1 R^*_{t, w –t+1} . Заметьте, что R^*_{w, 1} есть андеррайтинговый риск, который не является частью риска резервов убытков и поэтому не входит в последнее выражение. После перегруппировки слагаемых мы получим:

R^*_{t, w –t+1} = E (S_{s=w –t+1…w} v^* (w –1, t+s–1) P^*_{t, s} | H_{t, w –t} , G_{w –1}) –
– E (S_{s=w–t+1…w} v^*(w, t+s–1) P^*_{t, s} | H_{t, w –t+1} , G_w) =
= [E(S_{s=w –t+1…w} v^*(w –1 , t+s–1) P^*_{t, s} | H_{t, w –t} , G_w–1) –
– E(S_{s=w –t+1…w} v^*(w –1, t+s–1) P^*_{t, s} | H_{t, w –t+1} , G_w–1)] +
+ [E(S_{s=w –t+1…w} v^*(w –1, t+s–1) P^*_{t, s} | H_{t, w –t+1} , G_{w –1})–
– E(S_{s=w –t+1…w} v^*(w, t+s–1) P^*_{t, s} | H_{t, w –t+1} , G_w)]
R^*_{t, w –t+1} = ₁R^*_{t, w –t+1} + ₂R^*_{t, w –t+1}

При использовании предположения 6 мы получим:

1R^*_{t, w –t+1} = S_{s=w –t+1…w} E(v^*(w –1 , t+s–1) | G_{w –1}) *
* (E(P^*_{t, s} | H_{t, w –t}) – E(P^*_{t, s} | H_{t, w–t+1}))

2R^*_{t, w –t+1} = S_{s=w –t+1…w} E (P^*_{t, s} | H_{t, w –t+1} )*
* (E(v^*(w –1 , t+s–1) | G_w–1) – E (v^*(w, t+s–1) | G_w)