Из (12) мы также, в общем случае, получаем:

Следовательно, при g = 0 и w > p(d)+ z(d)+ d значение d, при котором z'(d) = –1, является оптимальным решением задачи о выборе страховой защиты, т.е. максимизирует полезность потребителя.

Пусть D(d) = d+ z(d) есть реальная франшиза. Тогда D'(d) = 1+ z'(d), и поэтому D'(d) = 0 при z'(d) = –1. Поскольку D'(d) < 0 при z'(d) < –1 и D'(d) > 0 при z'(d) > –1, то z'(d) = –1 есть точка минимума D(d). Причем этот минимум больше нуля, поскольку z(d) > 0 для всех d ³ 0.

Из (10) мы одновременно получаем, что p'(d) = 0 тогда и только тогда, когда z'(d) = –1. Поскольку p'(d) > 0 при z'(d) < –1 и p'(d) < 0 при z'(d) > –1, то при z'(d) = –1 мы имеем точку максимума p(d).

Отсюда мы можем сделать окончательный вывод, что z'(d) = –1 означает максимум премии p(d) и минимум реальной франшизы d+ z(d), что вместе означает максимум реальной страховой защиты. Другими словами, максимум реальной страховой защиты эквивалентен максимуму ожидаемой полезности для потребителя, при условии, что в функции премии g=0.

Заметьте, что может существовать более чем одно значение d, при котором z'(d) = –1; обозначим эти значения d_max. Все другие значения, отличные от d_max дают меньшую ожидаемую полезность с точки зрения страхователя. Рисунок 2 представляет собой графическую интерпретацию этого результата, показывая существование касательной с наклоном z'(d) = –1, касающейся графика z(d) в точке d_max, дающей максимум ожидаемой полезности. Для простоты на этом графике предположено существование только одной точки d_max, удовлетворяющей z'(d) = –1, а также то, что договор страхования с BMS предполагает уменьшение скорости уменьшения премии при росте франшизы d.

Правила BMS, заложенные в договор, рыночная процентная ставка l и индивидуальный уровень премий, действующие в момент приобретения, определяют индивидуальные значения d_max, а также то, что при иных значениях d ожидаемая полезность будет меньше. Этот весьма сложный и зависящий от индивидуальных характеристик вывод отражает до некоторой степени реальную ситуацию, возникающую при покупке страхования: И страховщик и страхователь считают очень сложным предлагать и выбирать индивидуальную величину франшизы в договоре с BMS. А если уменьшение премии, вызванное ростом франшизы имеет верхний предел, как это бывает у большинства страховщиков, тогда для некоторых потребителей может вообще не существовать индивидуальное значение d_max. Следовательно, эти потребители должны, вероятно, вообще отказаться от страхования. Этими потребителями обычно являются потребители с низким уровнем бонуса, высоким уровнем премий, и жесткими правилами штрафа, когда рыночная процентная ставка l низка. С другой стороны, потребители с высоким уровнем бонуса, низкми премиями, мягкими правилами штрафа и при высокой l будут, очевидно, приобретать страхование, устанавливая в договоре франшизу на уровне d_max.

Заканчивая эту Секцию мы сделаем вывод относительно нашей модели с BMS: Если согласно договору страховое возмещение имеет форму эксцедента убытка, а в функцию премии не включена рисковая надбавка, тогда существует определенный наилучший выбор страховой защиты, который максимизирует функцию ожидаемой полезности по сравнению с другими вариантами. Оптимальным страховой защитой по договору будет та, которой соответствует максимальная реальная страховая защита, т.е. та, когда z'(d) = –1. Этот вывод полностью симметричен соответствующему выводу для классического случая, когда оптимальным будет максимальная (договорная) страховая защита.

Заметим, что хотя мы в нашей модели определили реальную франшизу как NPV потерянного бонуса за бесконечный промежуток времени, полученное правило действует и для других предположений относительно z(d). Единственным условием является некоторая зависимость z(d) от d.