Рассмотрим потребителя страховой услуги и договор страхования описанный в Секции 2. Положим, w – есть исходное богатство потребителя. Предположим также, что рисковые предпочтения потребителя описываются функцией ожидаемой полезности Eu(.), т.е. если потребитель делает выбор в условиях неопределенности он стремится максимизировать ожидаемую полезность своего богатства. Точнее, потребитель предпочтет неопределенное богатство W₁ другому неопределенному богатству W₂ , если Eu(W₁) ³ Eu(W₂). Период на который ориентируется потребитель при принятии решений будет считаться равным одному периоду, который соответствует стандартному сроку действия договора имущественного страхования. Заметьте, что, хотя потеря бонуса растягивается на много лет, потребитель действует на основании данных о текущей ее стоимости, детерминированной на момент возникновения убытка, следовательно горизонт анализа, равный одному периоду не противоречит нашему подходу.

Классическое условие оптимальности. Для начала рассмотрим классический подход, при котором считается, что в договоре страхования не содержится условий о BMS. Тогда необходимым условием того, что потребитель приобретет страховую защиту с(.) , уплатив премию р является:

Другими словами, потребитель предпочтет приобрести страховую защиту с(.), если ее ожидаемая полезность больше или равна ожидаемой полезности ее отсутствия. Заметьте, что здесь случайная величина Х представляет собой полную подверженность потребителя риску, включая не только неопределенность величины убытка, но и неопределенность его возникновения. Распределение X, f(x), поэтому является смесью, содержащей вероятность того, что риск не реализуется, в точке х=0 и непрерывное распределение при х > 0, соответствующее возникновению одного или нескольких убытков.

Разумеется может существовать более чем один вид страховой защиты, удовлетворяющий (3). Тогда оптимальным выбором страховой защиты будет тот, который будет максимизировать левую часть (3) в зависимости от изменения с(.) и р, причем здесь р, очевидно, зависит от с(.).

Оптимальное условие при наличии BMS. Теперь рассмотрим договор страхования с BMS. Теперь (3) перестает быть условием покупки страхования. Чтобы получить корректное необходимое условие приобретения страхования мы должны ввести в него функцию реального страхового возмещения, определенную в (2). Точнее необходимым условием, чтобы потребитель приобретет страховую защиту с(.) , уплатив премию р является:

В (4) р определяется общими правилами BMS и является функцией с(.). Если (4) выполняется хотя бы для одного вида функции контрактного возмещения с(.), тогда оптимальным выбором страховой защиты будет та функция, которая максимизирует левую часть (4).

В условиях договоров страхования с BMS условие (4), разумеется, будет влиять на множество утверждений и выводов классической теории выбора страховой защиты. В Секциях 4 – 6 некоторые из этих классических утверждений будут представлены, а затем откорректированы с использованием эффекта реального страхового возмещения в условиях действия BMS.

Классическое утверждение 1. Предположим ситуацию, когда имеется стандартный договор страхования без BMS. Максимальной премией, которую потребитель мог бы уплатить за конкретную функцию страхового возмещения, является та премия p=p_max, которая превращает "³" в "=" в (3). Премия p_max, следовательно, есть та премия, при которой страхователю безразлично покупать страхование или нет, ее поэтому можно назвать премией безразличия. Существование такой премии фактически – одна из аксиом теории полезности фон Неймана–Моргенштерна.

Функция полезности u(.) обычно предполагается выпуклой и монотонно возрастающей, т.е. u'(.) > 0 и и''(.) < 0, что означает, что потребитель считается избегающим риска. Отсюда, просто используя неравенство Иенсена, мы получаем, что

Утверждение 1 при наличии BMS. Премия безразличия.
При наличии BMS премия безразличия удовлетворяет неравенству:

Доказательство: Из неравенства Иенсена следует, что u(w–EX) > Eu(w–X), поскольку u''(.)<0. Следовательно, знак равенства в (4) сохранится для некоторого p_max > Ec^*(X).

Практическая интерпретация (6) фактически такая же, как и для (5), т.е. избегающий риска потребитель согласен участвовать в нечестной игре, однако уровень нечестности премии в (6) иной чем в (5).