Нашей целью в этой секции будет разработка формул, которые позволят нам рассчитывать начальные премии с поправкой на риск для любого числа свободных или оплаченных восстановлений.

Определение 1. Пусть X есть некоторой положительный риск, имеющий кумулятивную функцию распределения F_X(t) и соответствующую ей функцию выживания S_X(t) = 1 – F_X(t). Определим

S_Y(t) = (S_X(t) )^1/r     r ³ 1

Так что S_Y(t) определяет новую функцию выживания при любом r ³ 1. Оператор
P_r (X) : S_X(t) ® S_Y(t) называется Трансформацией Пропорционального Вреда ( PH Transform).

Определение 2. Премией с поправкой на риск согласно принципу пропорционального вреда для положительного риска Х называется:

Заметим, что p_r (X) = EP_rX , т.е. премии пропорционального вреда эквивалентны вычислению ожидаемой величины убытков от риска по отношению к искаженной функции выживания. Принцип пропорционального вреда соответствует всем желательным свойствам для принципа назначения премий; смотри Wang (1996) и Silva, Centeno (1998).

Ясно, что в случае оплаченных восстановлений принцип пропорционального вреда не может быть применен напрямую, поскольку суммарные премии являются случайной величиной, коррелированной с суммарными убытками. В Walhin, Paris (1999) предлагалось использовать в качестве начальных премий решение уравнения:

P = p_r (W(P)) = EP_rW(P)

Однако, поскольку принцип пропорционального вреда эквивалентен расчету ожидания по искаженной функции выживания, то мы предлагаем использовать туже схему, что использована при расчете чистых премий. Поэтому мы приравниваем ожидаемую величину суммарных премий к ожидаемой величине убытков, рассчитанной по искаженной функции выживания для того же значения r. Другими словами, исходные премии с поправкой на риск должны быть такими, чтобы выполнялось равенство:

EP_rT_K = EP_rR_K       (8)

Как говорилось в секции 2, каждое восстановление является лэйером с суммарным размером убытка Х, а лэйеры для одного и того же риска являются комонотоническими ( comonotonic ) случайными величинами. Таковыми же являются и величины r_n. Поэтому, используя свойства линейности и аддитивности EP_r для подобных рисков, мы перепишем (8) в виде:

P ( 1+ m^–1 ( c₁EP_rr₀ + c₂EP_r r₁ +…+ c_K EP_r r_K–1 ) ) = EP_rR_K

Решая это уравнение относительно P, получаем, что начальные премии с поправкой на риск равны:

      (9)

Легко убедиться, что если бы мы использовали те же свойства Трансформацией Пропорционального Вреда в уравнении (7), то мы бы получили то же самое решение (9). Поэтому нет необходимости решать уравнение (7) численно. Более того начальные премии, соответствующие принципу пропорционального вреда, рассчитанные по (9) имеют единственное значение для любого числа свободных или оплаченных восстановлений.

Мы отмечаем, что начальные премии с поправкой на риск имеют ту же форму, что и “чистые” премии; разница заключается лишь в том, что премии с поправкой на риск рассчитываются по искаженной функции выживания.

Премии, рассчитанные согласно принципу пропорционального вреда, для свободных восстановлений не являются аддитивными, однако они сохраняют свойство субаддитивности, поскольку этим свойством обладает Трансформация Пропорционального Вреда. В общем случае, свойство линейности не выполняется при использовании этого принципа назначения премий. Мы доказали в Секции 4.1. что свойство линейности не выполнено для “чистых” премий при наличии платных восстановлений, а чистые премии есть премии с поправкой на риск при r =1!

В общем, принцип назначения премий основанный на пропорциональном вреде позволяет рассчитать премию с надбавкой, которая имеет определенные преимущества перед традиционной премией с надбавкой, рассчитанной по принципу стандартного отклонения или по принципу дисперсии. Более того, в случае перестрахования эксцедента убытка с восстановлениями принцип пропорционального вреда имеет то дополнительное преимущество, что уравнение (9) имеет единственное решение, и рассчитать его очень просто.