Предположим, что потребитель страхования подвержен риску Х, где Х – случайная величина имеющая при x>0 функцию плотности f(x). Договор страхования характеризуется непрерывным процессом премий p(t), передаваемых страхователем страховщику в момент t, а также страховым возмещением с(х), передаваемым в обратную сторону, если произойдет убыток Х=х. Таким образом возмещение с(х) называется договорным возмещением. А допустимая функция договорного возмещения удовлетворяет 0 £ с(х) £ х при всех х³ 0. Это ограничение отражает тот факт, что если нет убытка, то нет возмещения ( с(0) = 0 ), а также то, что страхователь не должен получать прибыль от игры на своем риске ( с(х) £ х ).

3. Стратегия бонусного голода.

Чтобы определить стратегию ( правило принятия финансовых решений ) страхователя в BMS, мы используем следующие обозначения и предположения: Премия, уплачиваемая в момент времени t, после того как в момент s произошел убыток, обозначается p₁(s + t), если об убытке было сообщено страховщику; или p₀(s + t), если об убытке не сообщалось. Предполагается, что p₀(s + t) и p₁(s + t) будут непрерывными не стохастическими процессами премий для всех t>0.

Определение 1. Если убыток имел место в фиксированный момент времени s и величина убытка Х=х также была фиксирована, тогда постоянная норма дисконтирования d(x), определенная выражением (где рассчитывается NPV):

Норма дисконтирования d(x) Î ( -¥, ¥ ) по определению является эффективной процентной ставкой для страхового возмещения. Чтобы выбрать оптимальный способ финансирования при возникновении убытка страхователь должен сравнить процентную ставку для страхового возмещения с процентной ставкой для других способов финансирования, среди которых можно выделить самостоятельное финансирование убытка за счет накоплений, за счет займа или за счет комбинации займа и накоплений, в зависимости от ликвидности страхователя. Пусть l₁ – процентная ставка по кредиту, l₂ – процентная ставка (доходность) по накоплениям в момент возникновения убытка; предположим, что l₁ и l₂ – положительные параметры, не меняющиеся во времени. Тогда детерминированная процентная ставка для самофинансирования убытка, l, при условии, что доля убытка b Î [0; 1] финансируется за счет кредита, определяется следующим образом (для простоты мы не учитываем налоги):
l = b l₁ +(1– b) l₂

• Если d > l Þ Самофинансирование;
• Если d < l Þ Убыток оплачивается страховщиком;
• Если d = l Þ Страхователю безразлично какую из двух альтернатив предпочесть.