Можно видеть, что исходные “чистые” премии, рассчитанные по формуле (4), удовлетворяют выражению P = EW(P). Если мы хотим показать, что для случая оплаченных восстановлений начальные чистые премии субаддитивны, то мы должны определить премию за сумму рисков, как ожидаемое значение суммы суммарных чистых убытков для каждого из рисков. Хотя в теории субаддитивность является очень важным и нужным свойством, однако на практике, в случае платных восстановлений оно теряет свое значение, поскольку интерпретация суммы рисков такова, что получившийся риск не является лэйером, и поэтому определение премии за восстановление и другие определения из секции 2 теряют свою естественную… Когда рассматривается перестрахование эксцедента убытка с платными восстановлениями, гораздо разумнее сравнить сумму премий для двух лэйеров с премией за соответствующий комбинированный лэйер.

Пример 2. При тех предположениях о распределениях случайных величин, что и в примере 1, мы рассчитаем начальные “чистые” премии для каждого их двух лэйеров и для комбинированного лэйера в двух случаях: 1) Для одного свободного восстановления или одного восстановления за 100%; 2) Для неограниченного числа восстановлений, свободных или платных. Заметим, что для неограниченного количества восстановлений необязательно использовать дискретизированное распределение размеров выплат. Нужно лишь рассчитать ожидаемое число требований и ожидаемую величину отдельного требования в части, затрагивающей рассматриваемый лэйер; это можно сделать аналитически. Однако, в случае ограниченного числа восстановлений, нам необходимо рассчитывать составное распределение суммарного размера требований, чтобы рассчитать ожидаемую величину убытков для ограниченного числа восстановлений.

Таблицы 2и 3 демонстрируют “чистые” премии, рассчитанные согласно формулы (4) для различных значений l. Мы можем наблюдать, что премии для комбинированного лэйера всегда выше при том же числе восстановлений, или равны, чем когда каждый из лэйеров оценивается по отдельности. Однако при малых l, смотрите Таблицу 3, премии за комбинированный лэйер очень близки к сумме премий по отдельным лэйерам.

Как мы уже говорили при анализе Примера 1, распределение суммы убытков для двух лэйеров очень близко к распределению убытков для комбинированного лэйера при малых значениях l, следовательно и чистые премии должны быть очень близки. В частности, для свободных восстановлений, мы отмечаем в Таблице 3, что “чистые” премии для одного свободного восстановления стремятся к чистым премиям для бесконечного числа свободных восстановлений. Другими словами, при малых значениях l вероятность того, что страховщик будет оплачивать более одного требования ( как и того, что сумма всех выплат перестраховщика будет больше лимита лэйера ) очень мала, и поэтому ограничение числа восстановлений оказывает очень незначительное влияние на премии, которые перестрахователь должен уплатить по договору.