3. Риск резервов убытков.

Поскольку мы рассматриваем только один год когда происходили убытки, то мы можем считать, что t-ый год развития резерва убытков также является t-ым финансовым годом для компании. Это означает просто перенумерование финансовых лет. Сначала мы проанализируем проблему без учета дисконтирования, а потом введем дисконтирование резервов.

Пусть Х^* обозначает риск или портфель рисков относящихся к данному году возникновения убытков. Пусть p(X^*) и l обозначают соответственно премию и надбавку для этого риска. Имеем : p(X^*) = ЕX^* + l . Как и для всех других случайных переменных, предполагаем, что ЕX^{* 2} – конечная величина. Давайте предположим, что риск Х^* оплачивается в течение w лет развития резерва. Т.е. Х^* = S_i=1…w P^*_t , здесь P^*_t обозначает выплаты совершенные в t-ом году развития резерва по риску Х^*. Пусть H_t обозначает информацию, имеющуюся у компании, о риске X^* в t-ом году развития резерва. H₀ – информация до принятия риска в страхование, и поэтому ЕX^* = E(X^* | H₀ ).

Введем обозначение X^*_t = E(X^* | H_t ). X^*_t есть оценка компанией риска X^* в году t.

Мы предполагаем, что H₀ , H₁ , … , H_t , … есть возрастающая последовательность s-алгебр. Легко видеть, что X^*_t – мартингал. Пусть L^*_t = E (P^*_t+1 + P^*_t+2 + …| H_t ) есть резерв убытков компании в конце года t по риску X^*.

Базируясь на чистых рисковых премиях, можно сказать, что вклад риска X^* в результаты компании в последующие годы есть
R^*_t = L^*_{t – 1} – P^*_t – L^*_t ; и следующее выражение остается верным всегда:
R^*_t = E(X^* | H_{t – 1} ) – E(X^* | H_t ). Т.е. R^*_t есть процесс разностей мартингала ( а именно E (– X^* | H_t ) ). Заметьте, что в соответствии с нашей терминологией R^*₁ есть андеррайтинговый риск, а R^*₂ + … + R^*w – риск развития резервов убытков.

Поскольку – X^*_t есть мартингал, а R^*_t – соответствующий ему процесс разностей, то всегда верно:

ER^*_t = 0 ; Cov(R^*_t , R^*_s) = 0 ; DX^* = S_i=1…w DR^*_t

Мы можем сделать предположение, что надбавка зарабатывается в течение всего срока развития риска X^*. И тогда в году t зарабатывается величина

l_t = l DR^*_t / DX^*

Эта форма выражения для l_t гарантирует, что S_i=1…w l_t = l.

А теперь введем возможность дисконтирования. Пусть случайная величина d^*(u) обозначает интенсивность процентной ставки в момент u. Тогда PV в момент времени s одной денежной единицы, выплачиваемой в момент t есть

v^*(s , t) = exp( – ò _s…t d^*(u)du)

Пусть G_t обозначает кумулятивную информацию об интенсивности процентной ставки на конец финансового года t , который также является концом года t развития риска X^*. Предполагается, что G₁, G₂, … , G_t, … есть возрастающая последовательность s-алгебр. Теперь мы имеем :

X^* = v^*(0 , 1) P^*₁ + … + v^*(0 , w) P^*w