Обычно r ( a, b, A) максимизируется при определенных ограничениях, таких как a_i Î [0, 1] и b_i Î [0, 1], а, если компания не имеет возможности выпускать ценные бумаги, то А_i ³ 0.

Когда портфель компании определен, соотношение “риск – доход” и эффективная граница для компании заданы. Однако компания еще должна определить подходящую ей точку на эффективной границе. Этот выбор эквивалентен выбору величины капитала компании, который, с другой стороны, определяется склонностью к риску t (см. секцию 2.2.).

Пусть D^*u = S_i=1…n Z^*_i распределение суммарного риска компании по отдельным рискам. Поскольку капитал, необходимый компании для принятия полного риска D^*u, пропорционален
DD^*u = S_i=1…n Cov(Z^*_i , D^*u), то мы направляем на покрытия каждого индивидуального риска Z^*_i капитал u_i , который пропорционален вкладу данного риска в общую волатильность результатов компании : u_i = k Cov(Z^*_i , D^*u). А поскольку сумма всех u_i есть капитал компании u, мы записываем:

u_i = u Cov(Z^*_i , D^*u) D^–1D^*u

Определение.
Честная надбавка за риск Z^*_i есть

(r - r₀)u_i = (r - r₀) u Cov(Z^*_i , D^*u) D^–1D^*u

Замечание.
Если Z^*_i некоррелированы, то величины честных надбавок рассчитываются по дисперсионному принципу. Мультипликатор дисперсии вытекает из портфеля компании, уровня капитализации и целевого дохода:
(r - r₀)u D^–1D^*u. Если, в добавок, величина капитала оптимальна, т.е. u = t^–1 DD^*u (r - r₀)^–1 u^–1, то фактор нагрузки составляет t^–1 u^–1.

4.2. Оптимизация портфеля.

D^*u – r₀ u = S_i=1…m a_i (EX^*_i + l_i – X^*_i) + S_i=1…m b_i (l_i^L – X^*_i^L – (R^*_i^L – r₀) L_i)
+ S_j=1…n (R^*_j –r₀ ) A_j

На первом шаге мы должны максимизировать соотношение “риск – доход” для подпортфеля, состоящего из андеррайтинговых рисков и рисков резервов убытков, путем покупки перестрахования. Это приведет к большей однородности портфеля и, следовательно, к более высокому соотношению “риск – доход” для данных подпортфелей. Это также приведет к приближению распределения рисков к многомерному нормальному. Этот процесс обсуждался в секции 2.

Пусть x^T = (a₁ , … , a_m , b₁ , … , b_m , A₁ , … , A_n);
m^T = (l₁ , …, l_m , l₁^L – X^*₁^L – (R^*₁^L –r₀) L₁ , …, l_m^L – X^*_m^L – (R^*_m^L –r₀) L_m , R^*₁ –r₀ , …, R^*_n –r₀);
S = Cov(–X^*₁ , …, X^*_m , – X^*₁^L – R^*₁^LL_m , …, – X^*_m^L – R^*_m^LL_m , R^*₁ , …, R^*_n )

r = x^T m(x^T S x)^–0.5 ® max

1. Мы ограничили возможности перестрахования простыми квотными договорами. Компании не позволяется занимать короткую позицию по любому из страховых подпортфелей, это было бы не реалистично, или повышать свою долю в каком либо портфеле выше 100%, это стоило бы высоких затрат на приобретение этих рисков.
2. Для того чтобы любой портфель был достижим величина обязательств должна превышать стоимость активов: u + S_i=1…m a _i L_i ³ S_j=1…n A_j. Если неравенство строгое, то излишние ресурсы могут быть инвестированы в безрисковые активы. Из данного неравенства вытекает ограничение при выборе величины капитала компании: u ³ S_j=1…n A_j – S_i=1…m a _i L_i . Мы будем называть правую часть последнего неравенства величиной чистых инвестированных активов.
3. В условиях нашей модели мы можем одновременно оптимизировать перестраховую и инвестиционную политику нашей компании. Модель допускает симметричное обращение со страховыми рисками и инвестиционными рисками.