Технические ограничения величин d _t^F и d _t^X снизу необходимы, чтобы обеспечить неотрицательные значения числа и величины убытков.

Мы построили модель изменения числа убытков в зависимости от инфляции потому, что анализ эмпирических данных обнаруживает, что в специфических экономических условиях ( например, когда инфляция высока ) страхователи сообщают о большем количестве убытков в некоторых видах страхования.

Соответствующие накопленные изменения d _t^{F, c} и d _t^{X, c} можно рассчитать по формулам:

Где t₀ + 1 обозначает первый моделируемый год.

Основными классами активов для страховой компании в имущественном страховании являются активы, приносящие фиксированный доход, акции и недвижимость. Здесь мы ограничимся описанием модели, используемой для акций. Моделирование акций может начинаться либо с их цен, либо с приносимых ими доходов. ( Хотя в результате должны получиться эквивалентные модели. ) Мы будем использовать второй подход, поскольку в этом случае мы сможем использовать хорошо известную теорию о связи доходности акций и безрисковой процентной ставки; мы говорим о CAPM ( Capital Asset Pricing Model ), которую можно найти например в Ingersoll [22].

Чтобы применить САРМ, мы вначале должны смоделировать доход, приносимый портфелем, который представляет собой рынок в целом, рыночным портфелем. Предполагая существенную корреляцию между ценами акций и облигаций, и принимая во внимание многопериодность ДФА модели, мы приняли следующую линейную модель для доходности рынка акций в прогнозируемом году t при условии, что одногодичная % ставка в этот момент составляла R_{t, 1} :

E[ r_t^M | R_{t, 1} ] = a^M + b^M ( exp(R_{t, 1}) – 1)         (2.14)

Где ( exp(R_{t, 1}) – 1) безрисковый доход, см. (2.7.); a^M и b^M – параметры, которые могут быть определены, исходя из статистических данных при построении регрессии.

Поскольку мы выбрали продолжительность периода в модели один год, мы использовали в (2.14) однолетние процентные ставки. Заметьте, что r _t^M не нужно путать с мгновенной спотовой краткосрочной процентной савкой r_t, присутствующей в модели CIR. Отметьте также, что отрицательное значение b^M означает, что рост процентных ставок вынуждает ожидаемые цены акций падать.

Теперь мы применим формулу САРМ, чтобы получить условный ожидаемый доход для произвольной ценной бумаги S:

E[ r_t^S | R_{t, 1} ] = ( exp(R_{t, 1}) – 1) + b _t^S( E[ r_t^M | R_{t, 1} ] – ( exp(R_{t, 1}) – 1) )         (2.15)

Здесь b _t^S есть b-коэффициент из модели САРМ, равный D^–1r_t^M Cov(r_t^S , r_t^M ).

Если мы предположим, что динамика цен акций определяется геометрическим броуновским движением, то 1 + r_t^S имеет Логнормальное распределение.

1 + r_t^S ~ LogN( m_t , s² )         (2.16)

1 + E[ r_t^M | R_{t, 1} ] = exp(m_t + s²/2 )

Мы вновь хотели бы подчеркнуть, что наш метод моделирования доходности вложений в акции является лишь одним из многих возможных подходов.